Desigualdad isoperimétrica gaussiana

En matemáticas, la desigualdad isoperimétrica gaussiana , demostrada por Boris Tsirelson y Vladimir Sudakov, ^[1] y posteriormente de forma independiente por Christer Borell, ^[2] establece que entre todos los conjuntos de medida gaussiana dada en el espacio euclidiano n -dimensional , los semiespacios tienen la medida de frontera gaussiana mínima .

Formulación matemática

Sea un subconjunto medible de dotado de la medida gaussiana estándar con la densidad . Denote por ${\displaystyle \scriptstyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle {\exp(-\|x\|^{2}/2)}/(2\pi )^{n/2}}$

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n}\,|\,{\text{dist}}(x,A)\leq \varepsilon \right\}}$

la ε-extensión de A . Entonces la desigualdad isoperimétrica gaussiana establece que

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to +0}\varepsilon ^{-1}\left\{\gamma ^{n}(A_{\varepsilon })-\gamma ^{n}(A)\right\}\geq \varphi (\Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))),}$

dónde

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\quad {\rm {and}}\quad \Phi (t)=\int _{-\infty }^{t}\varphi (s)\,ds.}$

Pruebas y generalizaciones

Las pruebas originales de Sudakov, Tsirelson y Borell se basaron en la desigualdad isoperimétrica esférica de Paul Lévy .

Sergey Bobkov demostró la desigualdad de Bobkov , una generalización funcional de la desigualdad isoperimétrica gaussiana, demostrada a partir de una cierta "desigualdad analítica de dos puntos". ^[3] Bakry y Ledoux dieron otra prueba de la desigualdad funcional de Bobkov basada en las técnicas de semigrupos que funciona en un entorno mucho más abstracto. ^[4] Más tarde, Barthe y Maurey dieron otra prueba utilizando el movimiento browniano . ^[5]

La desigualdad isoperimétrica gaussiana también se deriva de la desigualdad de Ehrhard. ^{[6] [7]}

Véase también

• Concentración de medida
• Desigualdad de Borell-TIS

Referencias

1. Sudakov, VN; Tsirel'son, BS (1 de enero de 1978) [Traducido de Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta im. VA Steklova AN SSSR, vol. 41, págs. 14-24, 1974]. "Propiedades extremas de semiespacios para medidas esféricamente invariantes". Revista de Matemáticas Soviéticas . 9 (1): 9–18. doi : 10.1007/BF01086099 . ISSN  1573-8795. S2CID  121935322.
2. Borell, Christer (1975). "La desigualdad de Brunn-Minkowski en el espacio de Gauss". Invenciones Mathematicae . 30 (2): 207–216. Código Bib : 1975 InMat..30..207B. doi :10.1007/BF01425510. ISSN  0020-9910. S2CID  119453532.
3. Bobkov, SG (1997). "Una desigualdad isoperimétrica en el cubo discreto y una prueba elemental de la desigualdad isoperimétrica en el espacio de Gauss". Anales de probabilidad . 25 (1): 206–214. doi : 10.1214/aop/1024404285 . ISSN  0091-1798.
4. Bakry, D.; Ledoux, M. (1996-02-01). "Desigualdad isoperimétrica de Lévy–Gromov para un generador de difusión de dimensión infinita". Inventiones Mathematicae . 123 (2): 259–281. doi :10.1007/s002220050026. ISSN  1432-1297. S2CID  120433074.
5. Barthe, F.; Maurey, B. (1 de julio de 2000). "Algunas observaciones sobre la isoperimetría de tipo gaussiano". Annales de l'Institut Henri Poincaré B . 36 (4): 419–434. Bibcode :2000AIHPB..36..419B. doi :10.1016/S0246-0203(00)00131-X. ISSN  0246-0203.
6. Latała, Rafał (1996). "Una nota sobre la desigualdad de Ehrhard". Estudios Matemáticos . 2 (118): 169-174. doi : 10.4064/sm-118-2-169-174 . ISSN  0039-3223.
7. Borell, Christer (15 de noviembre de 2003). "La desigualdad de Ehrhard". Cuentas Rendus Mathématique . 337 (10): 663–666. doi :10.1016/j.crma.2003.09.031. ISSN  1631-073X.