Cuadratura de Gauss-Hermite

Forma de cuadratura gaussiana

Pesos versus x _i para cuatro opciones de n

En análisis numérico , la cuadratura de Gauss-Hermite es una forma de cuadratura gaussiana para aproximar el valor de integrales del siguiente tipo:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx.}$

En este caso

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

donde n es el número de puntos de muestra utilizados. Las x _i son las raíces de la versión de los físicos del polinomio de Hermite H _n ( x ) ( i = 1,2,..., n ), y los pesos asociados w _i se dan por ^[1]

${\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}.}$

Ejemplo con cambio de variable

Consideremos una función h(y) , donde la variable y se distribuye normalmente : . La esperanza de h corresponde a la siguiente integral: ${\displaystyle y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)h(y)dy}$

Como esto no corresponde exactamente al polinomio de Hermite, necesitamos cambiar las variables:

${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\Leftrightarrow y={\sqrt {2}}\sigma x+\mu }$

Acoplado con la integración por sustitución , obtenemos:

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp(-x^{2})h({\sqrt {2}}\sigma x+\mu )dx}$

conduciendo a:

${\displaystyle E[h(y)]\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}h({\sqrt {2}}\sigma x_{i}+\mu )}$

Referencias

1. Abramowitz, M y Stegun, IA, Handbook of Mathematical Functions , décima impresión con correcciones (1972), Dover, ISBN  978-0-486-61272-0 . Ecuación 25.4.46.

• Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), "Cuadratura: fórmula de Gauss-Hermite", Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Shao, TS; Chen, TC; Frank, RM (1964). "Tablas de ceros y pesos gaussianos de ciertos polinomios de Laguerre asociados y los polinomios de Hermite generalizados relacionados". Matemáticas. Comp . 18 (88): 598–616. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . MR  0166397.
• Steen, NM; Byrne, GD; Gelbard, EM (1969). "Cuadraturas gaussianas para las integrales ∫ 0 ∞ e − x 2 f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx} y ∫ 0 b e − x 2 f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{b}e^{-x^{2}}f(x)dx}". Matemáticas. Comp . 23 (107): 661–671. doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247744-3 . MR  0247744.
• Shizgal, B. (1981). "Un procedimiento de cuadratura gaussiana para su uso en la solución de la ecuación de Boltzmann y problemas relacionados". J. Comput. Phys . 41 (2): 309–328. doi :10.1016/0021-9991(81)90099-1.

Enlaces externos

• Para tablas de abscisas y pesos de Gauss-Hermite hasta el orden n = 32, consulte http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm.
• Cuadratura de Gauss-Hermite generalizada, software libre en C++, Fortran y Matlab