Diagrama de vendaval

En la disciplina matemática de la combinatoria poliédrica , la transformada de Gale convierte los vértices de cualquier politopo convexo en un conjunto de vectores o puntos en un espacio de una dimensión diferente, el diagrama de Gale del politopo. Puede usarse para describir politopos de alta dimensión con pocos vértices, transformándolos en conjuntos con el mismo número de puntos, pero en un espacio de una dimensión mucho menor. El proceso también puede invertirse, para construir politopos con las propiedades deseadas a partir de sus diagramas de Gale. La transformada de Gale y el diagrama de Gale reciben su nombre de David Gale , quien introdujo estos métodos en un artículo de 1956 sobre politopos vecinos . ^[1]

Definiciones

Transformar

Dado un politopo -dimensional, con vértices, se agrega 1 a las coordenadas cartesianas de cada vértice, para obtener un vector columna -dimensional . La matriz de estos vectores columna tiene dimensiones , definiendo una aplicación lineal de -espacio a -espacio, sobreyectiva con rango . El núcleo de describe dependencias lineales entre los vértices originales con coeficientes que suman cero; este núcleo tiene dimensión . La transformada de Gale de es una matriz de dimensión , cuyos vectores columna son una base elegida para el núcleo de . Entonces tiene vectores fila de dimensión . Estos vectores fila forman el diagrama de Gale del politopo. Una elección diferente de la base para el núcleo cambia el resultado solo por una transformación lineal. ^[2] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (d+1)\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-d-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times (n-d-1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-d-1}$

Nótese que los vectores en el diagrama de Gale están en biyección natural con los vértices del politopo original de dimensión , pero la dimensión del diagrama de Gale es menor siempre que . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\leq 2d}$

Un subconjunto propio de los vértices de un politopo forma el conjunto de vértices de una cara del politopo, si y solo si el conjunto complementario de vectores de la transformada de Gale tiene una envoltura convexa que contiene el origen en su interior relativo . De manera equivalente, el subconjunto de vértices forma una cara si y solo si su espacio afín no interseca la envoltura convexa de los vectores complementarios. ^[3]

Diagrama lineal

Como la transformada de Gale se define solo hasta una transformación lineal, sus vectores distintos de cero se pueden normalizar a todos los vectores unitarios de dimensión . El diagrama lineal de Gale es una versión normalizada de la transformada de Gale, en la que todos los vectores son cero o vectores unitarios. ^[4] ${\displaystyle (n-d-1)}$

Diagrama afín

Dado un diagrama de Gale de un politopo, es decir, un conjunto de vectores unitarios en un espacio de dimensiones , se puede elegir un subespacio de dimensiones que pase por el origen y que evite todos los vectores, y un subespacio paralelo que no pase por el origen. Entonces, una proyección central desde el origen hasta producirá un conjunto de puntos de dimensiones . Esta proyección pierde la información sobre qué vectores se encuentran por encima y cuáles por debajo de ella, pero esta información se puede representar asignando un signo (positivo, negativo o cero) o, equivalentemente, un color (negro, blanco o gris) a cada punto. El conjunto resultante de puntos con signo o coloreados es el diagrama de Gale afín del politopo dado. Esta construcción tiene la ventaja, sobre la transformada de Gale, de utilizar una dimensión menos para representar la estructura del politopo dado. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-d-1)}$ ${\displaystyle (n-d-2)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle (n-d-2)}$ ${\displaystyle S}$

Las transformadas de Gale y los diagramas de Gale lineales y afines también se pueden describir a través de la dualidad de matroides orientados . ^[6] Al igual que con el diagrama lineal, un subconjunto de vértices forma una cara si y solo si no hay una función afín (una función lineal con un término constante posiblemente distinto de cero) que asigne un valor no negativo a cada vector positivo en el conjunto complementario y un valor no positivo a cada vector negativo en el conjunto complementario. ^[7]

Ejemplos

El diagrama de Gale es particularmente efectivo para describir poliedros cuyo número de vértices es sólo ligeramente mayor que sus dimensiones.

Sencillos

Un politopo de dimensión 0 con vértices, el mínimo posible, es un símplex . En este caso, el diagrama lineal de Gale es de dimensión 0 y está formado únicamente por vectores cero. El diagrama afín tiene puntos grises. ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n=d+1}$ ${\displaystyle n}$

Un vértice adicional

En un politopo de dimensión - con vértices, el diagrama de Gale lineal es unidimensional, y el vector que representa cada punto es uno de los tres números , , o . En el diagrama afín, los puntos son de dimensión cero, por lo que solo se pueden representar por sus signos o colores sin ningún valor de ubicación. Para representar un politopo, el diagrama debe tener al menos dos puntos con cada signo distinto de cero. Dos diagramas representan la misma clase de equivalencia combinatoria de politopos cuando tienen la misma cantidad de puntos de cada signo, o cuando se pueden obtener uno de otro negando todos los signos. ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n=d+2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +1}$

Para , la única posibilidad es dos puntos de cada signo distinto de cero, lo que representa un cuadrilátero convexo . Para , hay dos posibles diagramas de Gale: el diagrama con dos puntos de cada signo distinto de cero y un punto cero representa una pirámide cuadrada , mientras que el diagrama con dos puntos de un signo distinto de cero y tres puntos con el otro signo representa la bipirámide triangular . ^[8] ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle d=3}$

En general, el número de diagramas de Gale distintos con , y el número de clases de equivalencia combinatoria de politopos -dimensionales con vértices, es . ^[8] ${\displaystyle n=d+2}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor d^{2}/4\rfloor }$

Dos vértices adicionales

En un politopo de dimensión 1 con vértices, el diagrama de Gale lineal consta de puntos en el círculo unitario (vectores unitarios) y en su centro. El diagrama de Gale afín consta de puntos etiquetados o grupos de puntos en una línea. A diferencia del caso de los vértices, no es completamente trivial determinar cuándo dos diagramas de Gale representan el mismo politopo. ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n=d+3}$ ${\displaystyle n=d+2}$

Los poliedros tridimensionales con seis vértices proporcionan ejemplos naturales en los que el poliedro original tiene una dimensión lo suficientemente baja como para visualizarlo, pero donde el diagrama de Gale aún proporciona un efecto de reducción de dimensión.

• Un octaedro regular tiene un diagrama de Gale lineal que comprende tres pares de puntos iguales en el círculo unitario (que representan pares de vértices opuestos del octaedro), dividiendo el círculo en arcos de ángulo menor que . Su diagrama de Gale afín consta de tres pares de puntos de igual signo en la línea, con el par del medio teniendo el signo opuesto a los dos pares externos. ^[9] ${\displaystyle \pi }$
• Un prisma triangular tiene un diagrama de Gale lineal que comprende seis puntos en el círculo, en tres pares diametralmente opuestos, donde cada par representa vértices del prisma que son adyacentes en dos caras cuadradas del prisma. El diagrama de Gale afín correspondiente tiene tres pares de puntos en una línea, como el octaedro regular, pero con un punto de cada signo en cada par. ^[10]

Aplicaciones

Los diagramas de Gale se han utilizado para proporcionar una enumeración combinatoria completa de los politopos de dimensión 1 con vértices, ^[11] y para construir politopos con propiedades inusuales. Entre ellas se incluyen: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n=d+3}$

• El politopo de Perles, un politopo de 8 dimensiones con 12 vértices que no se puede realizar con coordenadas cartesianas racionales . Micha Perles lo construyó a partir de la configuración de Perles (nueve puntos y nueve líneas en el plano que no se pueden realizar con coordenadas racionales) duplicando tres de los puntos, asignando signos a los 12 puntos resultantes y tratando la configuración con signo resultante como el diagrama de Gale de un politopo. Aunque se conocen politopos irracionales con una dimensión tan baja como cuatro, no se conocen ninguno con menos vértices. ^[12]
• El politopo de Kleinschmidt, un politopo de 4 dimensiones con 8 vértices, 10 facetas tetraédricas y una faceta octaédrica, construido por Peter Kleinschmidt. Aunque la faceta octaédrica tiene la misma estructura combinatoria que un octaedro regular, no es posible que sea regular. ^[13] Se pueden pegar dos copias de este politopo por sus facetas octaédricas para producir un politopo de 10 vértices en el que algunos pares de realizaciones no se pueden deformar continuamente entre sí. ^[14]
• La bipirámide sobre una pirámide cuadrada es un politopo de 4 dimensiones con 7 vértices que tiene la doble propiedad de que no se puede prescribir la forma de una de sus figuras de vértice (el vértice de su pirámide central). Descubierta originalmente por David W. Barnette, fue redescubierta por Bernd Sturmfels utilizando diagramas de Gale. ^[15]
• La construcción de pequeños "politopos no vecinos", es decir, politopos sin un vértice universal , y "politopos iluminados", en los que cada vértice incide sobre una diagonal que pasa por el interior del politopo. Los politopos cruzados tienen estas propiedades, pero en 16 o más dimensiones existen politopos iluminados con menos vértices, y en 6 o más dimensiones los politopos iluminados con menos vértices no tienen por qué ser simpliciales. La construcción implica diagramas de Gale. ^[16]

Notas

1. Vendaval (1956).
2. Thomas (2006), Definición 5.2, pág. 38
3. Thomas (2006), Teorema 5.6, pág. 41
4. Stormfels (1988).
5. Thomas (2006), págs. 43–44.
6. Ziegler (1995), Definición 6.17, pág. 168
7. Ziegler (1995), pág. 170
8. Ziegler (1995), pág. 171.
9. Ziegler (1995), Ejemplo 6.18, pág. 169
10. Thomas (2006), págs. 39 y 44
11. Sturmfels (1988), pág. 121; Ziegler (1995), pág. 172
12. Ziegler (1995), Sección 6.5(a) "Un 8-politopo no racional", págs. 172-173; Thomas (2006), Teorema 6.11, págs. 51-52
13. Ziegler (1995), Sección 6.5(b) "No se pueden prescribir facetas de 4-politopos", pp. 173-175, y Ejercicio 6.18, p. 188; Sturmfels (1988), pp. 129-130
14. Ziegler (1995), Sección 6.5(d) "Polítopos que violan la conjetura de isotopía", págs. 177-179
15. Ziegler (1995), Sección 6.5(b) "Las facetas de los 4-politopos no pueden prescribirse", pp. 173-175; Sturmfels (1988), Proposición 5.1, p. 130; Thomas (2006), Teorema 6.12, pp. 53-55
16. Wotzlaw y Ziegler (2011).

Referencias

• Gale, David (1956), "Vértices vecinos en un poliedro convexo", Desigualdades lineales y sistemas relacionados , Annals of Mathematics Studies, n.º 38, Princeton University Press, Princeton, NJ, págs. 255-263, MR  0085552
• Sturmfels, Bernd (1988), "Algunas aplicaciones de diagramas de Gale afines a politopos con pocos vértices", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 1 (1): 121–133, doi :10.1137/0401014, MR  0936614
• Thomas, Rekha R. (2006), "Capítulo 5: Diagramas de Gale", Lectures in Geometric Combinatorics , Student Mathematical Library, vol. 33, Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, págs. 37–45, doi :10.1090/stml/033, ISBN 0-8218-4140-8, Sr.  2237292
• Wotzlaw, Ronald F.; Ziegler, Günter M. (2011), "Un contraejemplo perdido y un problema sobre politopos iluminados", American Mathematical Monthly , 118 (6): 534–543, CiteSeerX  10.1.1.249.4822 , doi :10.4169/amer.math.monthly.118.06.534, MR  2812284, S2CID  15007113
• Ziegler, Günter M. (1995), "Capítulo 6: Dualidad, diagramas de Gale y aplicaciones", Lectures on Polytopes , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 152, Nueva York: Springer-Verlag, págs. 149-190, doi :10.1007/978-1-4613-8431-1_6, ISBN 0-387-94365-X, Sr.  1311028