Matriz MCD

En matemáticas , una matriz de máximo común divisor (a veces abreviada como matriz MCD ) es una matriz que también puede denominarse matriz de Smith . El estudio fue iniciado por HJS Smith (1875). Una nueva inspiración comenzó a partir del artículo de Bourque y Ligh (1992). Esto condujo a investigaciones intensivas sobre la singularidad y la divisibilidad de las matrices de tipo MCD. En Haukkanen, Wang y Sillanpää (1997) se presenta una breve revisión de los artículos sobre matrices de tipo MCD anteriores a esa fecha.

Definición

Sea una lista de números enteros positivos. Entonces, la matriz que tiene como entrada el máximo común divisor se denomina matriz MCD en . La matriz MCM se define de manera análoga. ^{[1] [2]} ${\displaystyle S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle \gcd(x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]}$

El estudio de matrices de tipo MCD se origina a partir de Smith (1875) quien evaluó el determinante de ciertas matrices MCD y MCM. Smith demostró, entre otros, que el determinante de la matriz es , donde es la función totiente de Euler . ^[3] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (\gcd(i,j))}$ ${\displaystyle \phi (1)\phi (2)\cdots \phi (n)}$ ${\displaystyle \phi }$

Conjetura de Bourque-Ligh

Bourque y Ligh (1992) conjeturaron que la matriz MCM en un conjunto cerrado por MCD no es singular. ^[1] Haukkanen, Wang y Sillanpää (1997) y, posteriormente, Hong (1999) demostraron que esta conjetura era falsa. ^{[4] [2]} Korkee, Mattila y Haukkanen (2019) ofrecen un enfoque basado en la teoría de celosías. ^[5] ${\displaystyle S}$

El contraejemplo presentado en Haukkanen, Wang y Sillanpää (1997) es y el de Hong (1999) es Un contraejemplo que consta de números impares es . Su diagrama de Hasse se presenta a la derecha a continuación. ${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6,10,45,180\}}$ ${\displaystyle S=\{1,2,3,5,36,230,825,227700\}.}$ ${\displaystyle S=\{1,3,5,7,195,291,1407,4025,1020180525\}}$

Las estructuras de tipo cubo de estos conjuntos con respecto a la relación de divisibilidad se explican en Korkee, Mattila y Haukkanen (2019).

Diagrama de Hasse de un conjunto cerrado MCD impar cuya matriz MCM es singular

Divisibilidad

Sea un conjunto cerrado de factores. Entonces la matriz MCD divide la matriz MCM en el anillo de matrices sobre los enteros, es decir, existe una matriz integral tal que , véase Bourque & Ligh (1992). Como las matrices y son simétricas, tenemos . Por lo tanto, la divisibilidad desde la derecha coincide con la desde la izquierda. Por lo tanto, podemos utilizar el término divisibilidad. ${\displaystyle S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle [S]}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [S]=B(S)}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle [S]}$ ${\displaystyle [S]=(S)B^{T}}$

Hay en la literatura un gran número de generalizaciones y análogos de este resultado básico de divisibilidad.

Normas matriciales

En la literatura se presentan algunos resultados sobre normas matriciales de matrices de tipo MCD. Dos resultados básicos se refieren al comportamiento asintótico de la norma de la matriz MCD y MCM en . ^[6] ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle S=\{1,2,\dots ,n\}}$

Dado , la norma de una matriz se define como ${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.}$

Sea . Si , entonces ${\displaystyle S=\{1,2,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle p\geq 2}$

${\displaystyle \Vert (S)\Vert _{p}=C_{p}^{1/p}n^{1+(1/p)}+O((n^{(1/p)-p}E_{p}(n)),}$

dónde

${\displaystyle C_{p}:={\frac {2\zeta (p)-\zeta (p+1)}{(p+1)\zeta (p+1)}}}$

y para y . Además, si , entonces ${\displaystyle E_{p}(x)=x^{p}}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle E_{2}(x)=x^{2}\log x}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \Vert [S]\Vert _{p}=D_{p}^{1/p}n^{2+(2/p)}+O((n^{(2/p)+1}(\log n)^{2/3}(\log \log n)^{4/3}),}$

dónde

${\displaystyle D_{p}:={\frac {\zeta (p+2)}{(p+1)^{2}\zeta (p)}}.}$

Factorizaciones

Sea una función aritmética y sea un conjunto de números enteros positivos distintos. Entonces, la matriz se denomina matriz MCD en asociada con . La matriz MCM en asociada con se define de manera análoga. También se pueden usar las notaciones y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (S)_{f}=(f(\gcd(x_{i},x_{j}))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [S]_{f}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (S)_{f}=f(S)}$ ${\displaystyle [S]_{f}=f[S]}$

Sea un conjunto MCD-cerrado. Entonces ${\displaystyle S}$

${\displaystyle (S)_{f}=E\Delta E^{T},}$

¿Dónde está la matriz definida por? ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle e_{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x_{j}\,\mid \,x_{i},\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

y es la matriz diagonal, cuyos elementos diagonales son ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \delta _{i}=\sum _{d\mid x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}(f\star \mu )(d).}$

Aquí está la convolución de Dirichlet y es la función de Möbius. ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \mu }$

Además, si es una función multiplicativa y siempre distinta de cero, entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle [S]_{f}=\Lambda E\Delta ^{\prime }E^{T}\Lambda ,}$

donde y son las matrices diagonales, cuyos elementos diagonales son y ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=f(x_{i})}$

${\displaystyle \delta _{i}^{\prime }=\sum _{d\vert x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}({\frac {1}{f}}\star \mu )(d).}$

Si es factor-cerrado, entonces y . ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta _{i}=(f\star \mu )(x_{i})}$ ${\displaystyle \delta _{i}^{\prime }=({\frac {1}{f}}\star \mu )(x_{i})}$

Referencias

1. Bourque, K.; Ligh, S. (1992). "Sobre matrices MCD y MCM". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 174 : 65–74. doi : 10.1016/0024-3795(92)90042-9 .
2. Hong, S. (1999). "Sobre la conjetura de Bourque-Ligh de matrices de mínimo común múltiplo". Journal of Algebra . 218 : 216–228. doi : 10.1006/jabr.1998.7844 .
3. Smith, HJS (1875). "Sobre el valor de un determinado determinante aritmético". Actas de la London Mathematical Society . 1 : 208–213. doi :10.1112/plms/s1-7.1.208.
4. Haukkanen, P.; Wang, J.; Sillanpää, J. (1997). "Sobre el determinante de Smith". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 258 : 251–269. doi : 10.1016/S0024-3795(96)00192-9 .
5. Korkee, I.; Mattila, M.; Haukkanen, P. (2019). "Un enfoque de teoría reticular para la conjetura de Bourque-Ligh". Álgebra lineal y multilineal . 67 (12): 2471–2487. arXiv : 1403.5428 . doi :10.1080/03081087.2018.1494695. S2CID  117112282.
6. Haukkanen, P.; Toth, L. (2018). "Inercia, definibilidad positiva y norma ℓp de matrices MCD y MCM y sus análogos unitarios". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 558 : 1–24. doi : 10.1016/j.laa.2018.08.022 .