Función sumatoria de Totient

Función aritmética

En teoría de números , la función sumatoria totiente es una función sumatoria de la función totiente de Euler definida por: ${\displaystyle \Phi (n)}$

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} }$

Es el número de pares de números enteros coprimos {p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n .

Los primeros valores son 0, 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 28, 32 (secuencia A002088 en la OEIS ). Valores para potencias de 10 en (secuencia A064018 en la OEIS ).

Propiedades

Utilizando la inversión de Möbius para la función totient, obtenemos

${\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \right)}$

Φ( n ) tiene la expansión asintótica

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}$

donde ζ(2) es la función zeta de Riemann para el valor 2.

Φ( n ) es el número de pares de números enteros coprimos {p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n .

El resumen de la función totient recíproca

La sumatoria de la función totiente recíproca se define como

${\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}}$

Edmund Landau demostró en 1900 que esta función tiene el comportamiento asintótico

${\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ,

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)}$

y

${\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}$

La constante A  = 1,943596... se conoce a veces como constante totiente de Landau . La suma es convergente e igual a: ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots }$

En este caso, el producto sobre los primos del lado derecho es una constante conocida como constante sumatoria totient , ^[1] y su valor es:

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }$

Véase también

• Función aritmética

Referencias

1. OEIS : A065483

• Weisstein, Eric W. "Función sumatoria de Totient". MathWorld .

Enlaces externos

• Función sumatoria de OEIS Totient
• Expansión decimal del producto constante totiente (1 + 1/(p^2*(p-1))), p primo >= 2)