Función psi de Dedekind

Una función en matemáticas (teoría de números)

En teoría de números , la función psi de Dedekind es la función multiplicativa de los números enteros positivos definida por

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),}$

donde el producto se toma sobre todos los primos dividiendo (Por convención, que es el producto vacío , tiene valor 1.) La función fue introducida por Richard Dedekind en relación con las funciones modulares . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \psi (1)}$

El valor de para los primeros números enteros es: ${\displaystyle \psi (n)}$ ${\displaystyle n}$

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24,... (secuencia A001615 en el OEIS ).

La función es mayor que para todo mayor que 1 y es par para todo mayor que 2. Si es un número sin cuadrados , entonces , ¿dónde está la función divisor ? ${\displaystyle \psi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi (n)=\sigma (n)}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$

La función también se puede definir estableciendo potencias de cualquier número primo y luego extendiendo la definición a todos los números enteros mediante multiplicatividad. Esto también conduce a una prueba de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann , que es ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.}$

Esto también es una consecuencia del hecho de que podemos escribir como una convolución de Dirichlet . ${\displaystyle \psi =\mathrm {Id} *|\mu |}$

También existe una definición aditiva de la función psi. Citando a Dickson, ^[1]

R. Dedekind ^[2] demostró que, si se descompone en todos los sentidos en un producto y si es el mcd de entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle \sum _{a}(a/e)\varphi (e)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

donde abarca todos los divisores de y los divisores primos de y es la función totiente . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$

Órdenes superiores

La generalización a órdenes superiores a través de los ratios del paciente de Jordan es

${\displaystyle \psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

con serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}}$.

También es la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius ,

${\displaystyle \psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)}$.

Si

${\displaystyle \epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots }$

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet conduce a la función σ generalizada ,

${\displaystyle \epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)}$.

Referencias

1. Leonard Eugene Dickson "Historia de la teoría de los números", vol. 1, pág. 123, Editorial Chelsea 1952.
2. Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 83, 1877, pág. 288. Cfr. H. Weber, Elliptische Functionen, 1901, 244-5; ed. 2, 1008 (Álgebra III), 234-5

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función Dedekind". MundoMatemático .

Ver también

• Goro Shimura (1971). Introducción a la Teoría Aritmética de Funciones Automórficas . Princeton.(página 25, ecuación (1))
• Mathar, Richard J. (2011). "Estudio de la serie de Dirichlet de funciones aritméticas multiplicativas". arXiv : 1106.4038 [matemáticas.NT].Sección 3.13.2
• OEIS : A065958 es ψ ₂ , OEIS : A065959 es ψ ₃ y OEIS : A065960 es ψ ₄