Función poligamma equilibrada

En matemáticas, la función poligamma generalizada o función negapoligamma balanceada es una función introducida por Olivier Espinosa Aldunate y Victor Hugo Moll . ^[1]

Generaliza la función poligamma a orden negativo y fraccionario, pero sigue siendo igual a ella para órdenes enteros positivos.

Definición

La función poligamma generalizada se define de la siguiente manera:

\psi (z,q)={\frac {\zeta '(z+1,q)+{\bigl (}\psi (-z)+\gamma {\bigr )}\zeta (z+ 1,q)}{\Gamma (-z)}}

o alternativamente,

\psi (z,q)=e^{-\gamma z}{\frac {\partial }{\partial z}}\left(e^{\gamma z}{\frac {\zeta (z) +1,q)}{\Gamma (-z)}}\derecha),

donde $ψ (z)$ es la función poligamma y $ζ (z, q)$ , es la función zeta de Hurwitz .

La función está equilibrada, en el sentido de que satisface las condiciones

f(0)=f(1)\quad {\text{y}}\quad \int _{0}^{1}f(x)\,dx=0

Relaciones

Varias funciones especiales pueden expresarse en términos de función poligamma generalizada.

{\begin{aligned}\psi (x)&=\psi (0,x)\\\psi ^{(n)}(x)&=\psi (n,x)\qquad n\in \mathbb {N} \\\Gamma (x)&=\exp \left(\psi (-1,x)+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi \right)\\\zeta (z,q)&={\frac {\Gamma (1-z)}{\ln 2}}\left(2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac {q+1}{2}}\right)+2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac {q}{2}}\right)-\psi (z-1,q)\right)\\\zeta '(-1,x)&=\psi (-2,x)+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{12}}\\B_{n}(q)&=-{\frac {\Gamma (n+1)}{\ln 2}}\left(2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q+1}{2}}\right)+2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q}{2}}\right)-\psi (-n,q)\right)\end{aligned}}

donde $B n (q)$ son los polinomios de Bernoulli

K(z)=A\exp \left(\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right)

donde $K (z)$ es la función K y $A$ es la constante de Glaisher .

Valores especiales

La función poligamma equilibrada se puede expresar en forma cerrada en ciertos puntos (donde $A$ es la constante de Glaisher y $G$ es la constante de Catalan ):

{\begin{aligned}\psi \left(-2,{\tfrac {1}{4}}\right)&={\tfrac {1}{8}}\ln A+{\frac {G}{4\pi }}&&\\\psi \left(-2,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\tfrac {1}{2}}\ln A-{\tfrac {1}{24}}\ln 2&\\\psi \left(-3,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {3\zeta (3)}{32\pi ^{2}}}\\\psi (-2,1)&=-\ln A&\\\psi (-3,1)&={\frac {-\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\\psi (-2,2)&=-\ln A-1&\\\psi (-3,2)&={\frac {-\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}-{\tfrac {3}{4}}\\\end{alineado}}

Referencias

^ Espinosa, Olivier; Moll, Victor Hugo (abril de 2004). "Una función poligamma generalizada" (PDF) . Transformadas integrales y funciones especiales . 15 (2): 101–115. doi :10.1080/10652460310001600573.