Función k-convexa

Las funciones K -convexas , introducidas por primera vez por Scarf ^[1], sonun debilitamiento especial del concepto de función convexa que es crucial en la prueba de la optimalidad de lapolítica en la teoría de control de inventario . La política se caracteriza por dos números s y S ,, tales que cuando el nivel de inventario cae por debajo del nivel s , se emite un pedido por una cantidad que lleva el inventario hasta el nivel S , y no se ordena nada en caso contrario. Gallego y Sethi ^[2] han generalizado el concepto de K -convexidad a espacios euclidianos de dimensión superior. ${\displaystyle (s,S)}$ ${\displaystyle S\geq s}$

Definición

Dos definiciones equivalentes son las siguientes:

Definición 1 (La definición original)

Sea K un número real no negativo. Una función es K -convexa si ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(u)+z\left[{\frac {g(u)-g(u-b)}{b}}\right]\leq g(u+z)+K}$

para cualquier y . ${\displaystyle u,z\geq 0,}$ ${\displaystyle b>0}$

Definición 2 (Definición con interpretación geométrica)

Una función es K -convexa si ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)\leq \lambda g(x)+{\bar {\lambda }}[g(y)+K]}$

para todos , donde . ${\displaystyle x\leq y,\lambda \in [0,1]}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}=1-\lambda }$

Esta definición admite una interpretación geométrica simple relacionada con el concepto de visibilidad. ^[3] Sea . Se dice que un punto es visible desde si todos los puntos intermedios se encuentran debajo del segmento de línea que une estos dos puntos. Entonces la caracterización geométrica de la K -convexidad puede obtenerse como: ${\displaystyle a\geq 0}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y)+a)}$ ${\displaystyle (\lambda x+{\bar {\lambda }}y,f(\lambda x+{\bar {\lambda }}y)),0\leq \lambda \leq 1}$

Una función es K -convexa si y solo si es visible desde para todo . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x,g(x))}$ ${\displaystyle (y,g(y)+K)}$ ${\displaystyle y\geq x}$

Prueba de equivalencia

Es suficiente demostrar que las definiciones anteriores pueden transformarse entre sí. Esto se puede ver utilizando la transformación

${\displaystyle \lambda =z/(b+z),\quad x=u-b,\quad y=u+z.}$

Propiedades

^[4]

Propiedad 1

Si es K -convexo, entonces es L -convexo para cualquier . En particular, si es convexo, entonces también es K -convexo para cualquier . ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L\geq K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K\geq 0}$

Propiedad 2

Si es K -convexo y es L -convexo, entonces para es -convexo. ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0,\beta \geq 0,\;g=\alpha g_{1}+\beta g_{2}}$ ${\displaystyle (\alpha K+\beta L)}$

Propiedad 3

Si es K -convexo y es una variable aleatoria tal que para todo , entonces también es K -convexo. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle E|g(x-\xi )|<\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Eg(x-\xi )}$

Propiedad 4

Si es K -convexo, la restricción de en cualquier conjunto convexo es K -convexo. ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbb {R} }$

Propiedad 5

Si es una función K -convexa continua y como , entonces existen escalares y con tales que ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(y)\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |y|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\leq S}$

• ${\displaystyle g(S)\leq g(y)}$, para todos ; ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle g(S)+K=g(s)<g(y)}$, para todos ; ${\displaystyle y<s}$
• ${\displaystyle g(y)}$es una función decreciente en ; ${\displaystyle (-\infty ,s)}$
• ${\displaystyle g(y)\leq g(z)+K}$Para todos con . ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle s\leq y\leq z}$

Referencias

1. Scarf, H. (1960). La optimalidad de las políticas (S, s) en el problema del inventario dinámico . Stanford, CA: Stanford University Press. pág. Capítulo 13.
2. Gallego, G. y Sethi, SP (2005). K -convexidad en ℜ ⁿ . Revista de teoría y aplicaciones de optimización, 127(1):71-88.
3. Kolmogorov, AN; Fomin, SV (1970). Introducción al análisis real . Nueva York: Dover Publications Inc.
4. Sethi SP, Cheng F. Optimalidad de políticas (s, S) en modelos de inventario con demanda markoviana. INFORMS, 1997.

Lectura adicional

• Gallego, G.; Sethi, SP (2005). " K {\displaystyle {\mathcal {K}}} -convexidad en R n {\displaystyle {\mathfrak {R}}^{n}} " (PDF) . Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 127 (1): 71–88. doi :10.1007/s10957-005-6393-4. MR  2174750.