Producto interno de Bogoliubov

Special inner product in the space of operators

El producto interno de Bogoliubov (también conocido como función de dos puntos de Duhamel , producto interno de Bogolyubov , producto escalar de Bogoliubov o producto interno de Kubo -Mori-Bogoliubov ) es un producto interno especial en el espacio de operadores . El producto interno de Bogoliubov aparece en la mecánica estadística cuántica ^{[1] [2]} y lleva el nombre del físico teórico Nikolay Bogoliubov .

Definición

Sea un operador autoadjunto . El producto interno de Bogoliubov de dos operadores cualesquiera X e Y se define como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{A}=\int \limits _{0}^{1}{\rm {Tr}}[{\rm {e}}^{xA}X^{\dagger }{\rm {e}}^{(1-x)A}Y]dx}$

El producto interno de Bogoliubov satisface todos los axiomas del producto interno: es sesquilineal , semidefinido positivo (es decir, ) y satisface la propiedad de simetría donde es el conjugado complejo de . ${\displaystyle \langle X,X\rangle _{A}\geq 0}$ ${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{A}=(\langle Y,X\rangle _{A})^{*}}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ ${\displaystyle \alpha }$

En aplicaciones a la mecánica estadística cuántica , el operador tiene la forma , donde es el hamiltoniano del sistema cuántico y es la temperatura inversa . Con estas notaciones, el producto interno de Bogoliubov toma la forma ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\beta H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\beta H}=\int \limits _{0}^{1}\langle {\rm {e}}^{x\beta H}X^{\dagger }{\rm {e}}^{-x\beta H}Y\rangle dx}$

donde denota el promedio térmico con respecto al hamiltoniano y la temperatura inversa . ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \beta }$

En mecánica estadística cuántica, el producto interno de Bogoliubov aparece como el término de segundo orden en la expansión de la suma estadística:

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\beta H}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t\partial s}}{\rm {Tr}}\,{\rm {e}}^{\beta H+tX+sY}{\bigg \vert }_{t=s=0}}$

Referencias

1. D. Petz y G. Toth. El producto interno de Bogoliubov en estadística cuántica, Letters in Mathematical Physics 27 , 205-216 (1993).
2. DP Sankovich. Sobre la condensación de Bose en algún modelo de gas de Bose no ideal, J. Math. Física. 45 , 4288 (2004).