Función de Gudermann

Función matemática que relaciona funciones circulares e hiperbólicas

La función Gudermanniana relaciona el área de un sector circular con el área de un sector hiperbólico , a través de una proyección estereográfica común . Si el área del sector hiperbólico azul es el doble de ψ , entonces el área del sector circular rojo es el doble de ϕ = gd ψ . El área del triángulo violeta es el doble de la proyección estereográfica s = tan1/2⁠ ϕ = tanh ⁠1/2⁠ ψ . El punto azul tiene coordenadas (cosh ψ , sinh ψ ) . El punto rojo tiene coordenadas (cos ϕ , sin ϕ ). El punto morado tiene coordenadas (0, s ).

Gráfica de la función Gudermanniana.

Gráfica de la función inversa de Gudermann.

En matemáticas, la función Gudermanniana relaciona una medida de ángulo hiperbólico con una medida de ángulo circular llamada gudermanniana de y denotada . ^[1] La función Gudermanniana revela una estrecha relación entre las funciones circulares y las funciones hiperbólicas . Fue introducida en la década de 1760 por Johann Heinrich Lambert , y más tarde nombrada en honor a Christoph Gudermann , quien también describió la relación entre las funciones circulares e hiperbólicas en 1830. ^[2] La función Gudermanniana a veces se denomina amplitud hiperbólica como un caso límite de la amplitud elíptica de Jacobi cuando el parámetro ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \operatorname {gd} \psi }$ ${\textstyle \operatorname {am} (\psi ,m)}$ ${\textstyle m=1.}$

La función Gudermanniana real se define típicamente como la integral de la secante hiperbólica ^[3] ${\textstyle -\infty <\psi <\infty }$

${\displaystyle \phi =\operatorname {gd} \psi \equiv \int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ).}$

La función Gudermanniana inversa real se puede definir como la integral de la secante (circular) ${\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi <\phi <{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\operatorname {sec} t\,\mathrm {d} t=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).}$

La medida del ángulo hiperbólico se llama antigudermanniano de o, a veces, lambertiano de , denotado ^[4] En el contexto de la geodesia y la navegación , la latitud , (escalada por una constante arbitraria ) se denominaba históricamente parte meridional de ( en francés : latitud croissante ). Es la coordenada vertical de la proyección de Mercator . ${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi =\operatorname {lam} \phi .}$ ${\textstyle \phi }$ ${\displaystyle k\operatorname {gd} ^{-1}\phi }$ ${\textstyle k}$ ${\displaystyle \phi }$

Las dos medidas de ángulos están relacionadas por una proyección estereográfica común. ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,}$

y esta identidad puede servir como una definición alternativa y válida en todo el plano complejo : ${\textstyle \operatorname {gd} }$ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}\phi \,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Identidades circulares-hiperbólicas

Podemos evaluar la integral de la secante hiperbólica utilizando la proyección estereográfica ( semitangente hiperbólica ) como un cambio de variables : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &\equiv \int _{0}^{\psi }{\frac {1}{\operatorname {cosh} t}}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}{\frac {2\,\mathrm {d} u}{1-u^{2}}}\qquad {\bigl (}u=\tanh {\tfrac {1}{2}}t{\bigr )}\\[8mu]&=2\int _{0}^{\tanh {\frac {1}{2}}\psi }{\frac {1}{1+u^{2}}}\mathrm {d} u={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )},\\[5mu]\tan {\tfrac {1}{2}}{\operatorname {gd} \psi }&=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi .\end{aligned}}}$

Dejando y podemos derivar una serie de identidades entre funciones hiperbólicas de y funciones circulares de ^[6] ${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi }$ ${\textstyle s=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \phi .}$

Identidades relacionadas con la función Gudermanniana representadas gráficamente.

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\tan {\tfrac {1}{2}}\phi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ,\\[6mu]{\frac {2s}{1+s^{2}}}&=\sin \phi =\tanh \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{2s}}&=\csc \phi =\coth \psi ,\\[10mu]{\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}&=\cos \phi =\operatorname {sech} \psi ,\quad &{\frac {1+s^{2}}{1-s^{2}}}&=\sec \phi =\cosh \psi ,\\[10mu]{\frac {2s}{1-s^{2}}}&=\tan \phi =\sinh \psi ,\quad &{\frac {1-s^{2}}{2s}}&=\cot \phi =\operatorname {csch} \psi .\\[8mu]\end{aligned}}}$

Estas se usan comúnmente como expresiones para y para valores reales de y con Por ejemplo, las fórmulas numéricamente bien comportadas ${\displaystyle \operatorname {gd} }$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=\operatorname {arctan} (\sinh \psi ),\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).\end{aligned}}}$

(Nota: para argumentos complejos, se debe tener cuidado al elegir las ramas de las funciones inversas). ^[7] ${\displaystyle |\phi |>{\tfrac {1}{2}}\pi }$

También podemos expresar y en términos de ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle s\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\arctan s&=\phi =\operatorname {gd} \psi ,\\[6mu]2\operatorname {artanh} s&=\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\psi .\\[6mu]\end{aligned}}}$

Si desarrollamos y en términos de la exponencial , entonces podemos ver que y son todas transformaciones de Möbius entre sí (específicamente, rotaciones de la esfera de Riemann ): ${\textstyle \tan {\tfrac {1}{2}}}$ ${\textstyle \tanh {\tfrac {1}{2}}}$ ${\textstyle s,}$ ${\displaystyle \exp \phi i,}$ ${\displaystyle \exp \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=i{\frac {1-e^{\phi i}}{1+e^{\phi i}}}={\frac {e^{\psi }-1}{e^{\psi }+1}},\\[10mu]i{\frac {s-i}{s+i}}&=\exp \phi i\quad ={\frac {e^{\psi }-i}{e^{\psi }+i}},\\[10mu]{\frac {1+s}{1-s}}&=i{\frac {i+e^{\phi i}}{i-e^{\phi i}}}\,=\exp \psi .\end{aligned}}}$

Para valores reales de y con , estas transformaciones de Möbius se pueden escribir en términos de funciones trigonométricas de varias maneras, ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \phi }$ ${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp \psi &=\sec \phi +\tan \phi =\tan {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +\phi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }}={\sqrt {\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}},\\[12mu]\exp \phi i&=\operatorname {sech} \psi +i\tanh \psi =\tanh {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\pi i+\psi {\bigr )}\\[6mu]&={\frac {1+i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }{1-i\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi }}={\sqrt {\frac {1+i\sinh \psi }{1-i\sinh \psi }}}.\end{aligned}}}$

Estos dan expresiones adicionales para y para argumentos reales con Por ejemplo, ^[8] ${\displaystyle \operatorname {gd} }$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ ${\displaystyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} \psi &=2\arctan e^{\psi }-{\tfrac {1}{2}}\pi ,\\[6mu]\operatorname {gd} ^{-1}\phi &=\log(\sec \phi +\tan \phi ).\end{aligned}}}$

Valores complejos

La función Gudermanniana z ↦ gd z es una función conforme de una franja infinita a una franja infinita. Se puede dividir en dos partes: una función z ↦ tanh ⁠1/2⁠ z desde una franja infinita hasta el disco unitario complejo y una función ζ ↦ 2 arctan ζ desde el disco hasta la otra franja infinita.

Como función de una variable compleja , mapea conformemente la franja infinita a la franja infinita mientras que mapea conformemente la franja infinita a la franja infinita ${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$ ${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$ ${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi ,}$ ${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$ ${\textstyle \left|\operatorname {Re} w\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi }$ ${\textstyle \left|\operatorname {Im} z\right|\leq {\tfrac {1}{2}}\pi .}$

Continuando analíticamente por reflexiones sobre todo el plano complejo, se encuentra una función periódica de período que envía cualquier franja infinita de "altura" sobre la franja. Asimismo, extendida a todo el plano complejo, se encuentra una función periódica de período que envía cualquier franja infinita de "ancho" sobre la franja ^[9] Para todos los puntos en el plano complejo, estas funciones se pueden escribir correctamente como: ${\textstyle z\mapsto w=\operatorname {gd} z}$ ${\textstyle 2\pi i}$ ${\textstyle 2\pi i}$ ${\textstyle -\pi <\operatorname {Re} w\leq \pi .}$ ${\textstyle w\mapsto z=\operatorname {gd} ^{-1}w}$ ${\textstyle 2\pi }$ ${\textstyle 2\pi }$ ${\textstyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&={2\arctan }{\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}z\,{\bigr )},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}w&={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}\tan {\tfrac {1}{2}}w\,{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Para que las funciones y permanezcan invertibles con estos dominios extendidos, podríamos considerar cada una como una función multivaluada (quizás y , con y la rama principal ) o considerar sus dominios y codominios como superficies de Riemann . ${\textstyle \operatorname {gd} }$ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ ${\textstyle \operatorname {Gd} }$ ${\textstyle \operatorname {Gd} ^{-1}}$ ${\textstyle \operatorname {gd} }$ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$

Si entonces los componentes reales e imaginarios y se pueden encontrar mediante: ^[10] ${\textstyle u+iv=\operatorname {gd} (x+iy),}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$

${\displaystyle \tan u={\frac {\sinh x}{\cos y}},\quad \tanh v={\frac {\sin y}{\cosh x}}.}$

(En la implementación práctica, asegúrese de utilizar el arcotangente de 2 argumentos , .) ${\textstyle u=\operatorname {atan2} (\sinh x,\cos y)}$

De la misma manera, si entonces los componentes y se pueden encontrar mediante: ^[11] ${\textstyle x+iy=\operatorname {gd} ^{-1}(u+iv),}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sin u}{\cosh v}},\quad \tan y={\frac {\sinh v}{\cos u}}.}$

Al multiplicarlos se revela la identidad adicional ^[8]

${\displaystyle \tanh x\,\tan y=\tan u\,\tanh v.}$

Simetrías

Las dos funciones pueden considerarse como rotaciones o reflexiones entre sí, con una relación similar a la que existe entre el seno y el seno hiperbólico : ^[12] ${\textstyle \sinh iz=i\sin z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} iz&=i\operatorname {gd} ^{-1}z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}iz&=i\operatorname {gd} z.\end{aligned}}}$

Las funciones son ambas impares y conmutan con conjugación compleja . Es decir, una reflexión a través del eje real o imaginario en el dominio da como resultado la misma reflexión en el codominio:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (-z)&=-\operatorname {gd} z,&\quad \operatorname {gd} {\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} z}},&\quad \operatorname {gd} (-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} z}},\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(-z)&=-\operatorname {gd} ^{-1}z,&\quad \operatorname {gd} ^{-1}{\bar {z}}&={\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}},&\quad \operatorname {gd} ^{-1}(-{\bar {z}})&=-{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}.\end{aligned}}}$

Las funciones son periódicas , con periodos y : ${\textstyle 2\pi i}$ ${\textstyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+2\pi i)&=\operatorname {gd} z,\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+2\pi )&=\operatorname {gd} ^{-1}z.\end{aligned}}}$

Una traslación en el dominio de por da como resultado una rotación de media vuelta y una traslación en el codominio de por uno de y viceversa para ^[13] ${\textstyle \operatorname {gd} }$ ${\textstyle \pm \pi i}$ ${\textstyle \pm \pi ,}$ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+z)&={\begin{cases}\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -\operatorname {gd} z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }+z)&={\begin{cases}\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i-\operatorname {gd} ^{-1}z\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Una reflexión en el dominio de a través de cualquiera de las líneas da como resultado una reflexión en el codominio a través de una de las líneas y viceversa para ${\textstyle \operatorname {gd} }$ ${\textstyle x\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i}$ ${\textstyle \pm {\tfrac {1}{2}}\pi +yi,}$ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ({\pm \pi i}+{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z\geq 0,\\[5mu]-\pi -{\overline {\operatorname {gd} z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Re} z<0,\end{cases}}\\[15mu]\operatorname {gd} ^{-1}({\pm \pi }-{\bar {z}})&={\begin{cases}\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z\geq 0,\\[3mu]-\pi i+{\overline {\operatorname {gd} ^{-1}z}}\quad &{\mbox{if }}\ \ \operatorname {Im} z<0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Esto está relacionado con la identidad.

${\displaystyle \tanh {\tfrac {1}{2}}({\pi i}\pm z)=\tan {\tfrac {1}{2}}({\pi }\mp \operatorname {gd} z).}$

Valores específicos

Algunos valores específicos (donde indica el límite en un extremo de la franja infinita): ^[14] ${\textstyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (0)&=0,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{3}}\pi ,\\[5mu]\operatorname {gd} (\pi i)&=\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{3}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}2+{\sqrt {3}}{\bigr )}i,\\[5mu]\operatorname {gd} ({\pm \infty })&=\pm {\tfrac {1}{2}}\pi ,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}}{\bigr )}&=\pm {\tfrac {1}{4}}\pi ,\\[5mu]{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}}\pi i{\bigr )}&=\pm \infty i,&\quad {\operatorname {gd} }{\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{4}}}\pi i{\bigr )}&=\pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&={\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i,\\[5mu]&&{\operatorname {gd} }{\bigl (}{-\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}\pm {\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}&=-{\tfrac {1}{2}}\pi \pm {\log }{\bigl (}1+{\sqrt {2}}{\bigr )}i.\end{aligned}}}$

Derivados

Como las funciones Gudermanniana y Gudermanniana inversa pueden definirse como las antiderivadas de las funciones secante hiperbólica y secante circular, respectivamente, sus derivadas son dichas funciones secantes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} z&=\operatorname {sech} z,\\[10mu]{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sec z.\end{aligned}}}$

Identidades de adición de argumentos

Al combinar identidades de adición de argumentos hiperbólicos y circulares ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(z+w)&={\frac {\tanh z+\tanh w}{1+\tanh z\,\tanh w}},\\[10mu]\tan(z+w)&={\frac {\tan z+\tan w}{1-\tan z\,\tan w}},\end{aligned}}}$

con la identidad circular-hiperbólica,

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)=\tanh {\tfrac {1}{2}}z,}$

Tenemos las identidades de adición de argumentos de Gudermann:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=2\arctan {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}{1+\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} z)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} w)}},\\[12mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=2\operatorname {artanh} {\frac {\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)+\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}{1-\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}z)\,\tanh {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {gd} ^{-1}w)}}.\end{aligned}}}$

Se pueden escribir otras identidades de adición de argumentos en términos de otras funciones circulares, ^[15] pero requieren mayor cuidado al elegir las ramas en funciones inversas. En particular,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tan u={\frac {\sinh z}{\cosh w}},\ \tan v={\frac {\sinh w}{\cosh z}},\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}(z+w)&=u+v,\quad {\text{where}}\ \tanh u={\frac {\sin z}{\cos w}},\ \tanh v={\frac {\sin w}{\cos z}},\end{aligned}}}$

que se puede utilizar para derivar el cálculo por componente para el Gudermanniano complejo y el Gudermanniano inverso. ^[16]

En el caso específico, las identidades de doble argumento son ${\textstyle z=w,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} (2z)&=2\arctan(\sin(\operatorname {gd} z)),\\[5mu]\operatorname {gd} ^{-1}(2z)&=2\operatorname {artanh} (\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}z)).\end{aligned}}}$

Serie de Taylor

La serie de Taylor cercana a cero, válida para valores complejos con son ^[17] ${\textstyle z}$ ${\textstyle |z|<{\tfrac {1}{2}}\pi ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{k}}{(k+1)!}}z^{k+1}=z-{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}-{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}-\dots ,\\[10mu]\operatorname {gd} ^{-1}z&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|E_{k}|}{(k+1)!}}z^{k+1}=z+{\frac {1}{6}}z^{3}+{\frac {1}{24}}z^{5}+{\frac {61}{5040}}z^{7}+{\frac {277}{72576}}z^{9}+\dots ,\end{aligned}}}$

donde los números son los números secantes de Euler , 1, 0, -1, 0, 5, 0, -61, 0, 1385 ... (secuencias A122045, A000364 y ​​A028296 en la OEIS ). Estas series fueron calculadas por primera vez por James Gregory en 1671. ^[18] ${\textstyle E_{k}}$

Debido a que las funciones Gudermanniana y Gudermanniana inversa son las integrales de las funciones secante hiperbólica y secante, los numeradores y son los mismos que los numeradores de la serie de Taylor para sech y sec , respectivamente, pero desplazados un lugar. ${\textstyle E_{k}}$ ${\textstyle |E_{k}|}$

Los numeradores sin signo reducidos son 1, 1, 1, 61, 277, ... y los denominadores reducidos son 1, 6, 24, 5040, 72576, ... (secuencias A091912 y A136606 en la OEIS ).

Historia

La función y su inversa están relacionadas con la proyección de Mercator . La coordenada vertical en la proyección de Mercator se llama latitud isométrica y a menudo se denota En términos de latitud en la esfera (expresada en radianes ), la latitud isométrica se puede escribir ${\textstyle \psi .}$ ${\textstyle \phi }$

${\displaystyle \psi =\operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec t\,\mathrm {d} t.}$

La inversa de la latitud isométrica a la latitud esférica es (Nota: en un elipsoide de revolución , la relación entre la latitud geodésica y la latitud isométrica es ligeramente más complicada). ${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi .}$

Gerardus Mercator trazó su famoso mapa en 1569, pero no se reveló el método preciso de construcción. En 1599, Edward Wright describió un método para construir una proyección de Mercator numéricamente a partir de tablas trigonométricas, pero no produjo una fórmula cerrada. La fórmula cerrada fue publicada en 1668 por James Gregory .

La función Gudermanniana en sí fue introducida por Johann Heinrich Lambert en la década de 1760 al mismo tiempo que las funciones hiperbólicas . La llamó "ángulo trascendente" y tuvo varios nombres hasta 1862, cuando Arthur Cayley sugirió que se le diera su nombre actual como tributo al trabajo de Christoph Gudermann en la década de 1830 sobre la teoría de funciones especiales. ^[19] Gudermann había publicado artículos en el Crelle's Journal que luego se recopilaron en un libro ^[20] que exponía y para una amplia audiencia (aunque representada por los símbolos y ). ${\textstyle \sinh }$ ${\textstyle \cosh }$ ${\textstyle {\mathfrak {Sin}}}$ ${\textstyle {\mathfrak {Cos}}}$

La notación fue introducida por Cayley, quien comienza llamando amplitud elíptica de Jacobi en el caso degenerado donde el módulo elíptico es tal que se reduce a ^[21] Esta es la inversa de la integral de la función secante . Usando la notación de Cayley, ${\textstyle \operatorname {gd} }$ ${\textstyle \phi =\operatorname {gd} u}$ ${\textstyle \operatorname {am} u}$ ${\textstyle m=1,}$ ${\textstyle {\sqrt {1+m\sin \!^{2}\,\phi }}}$ ${\textstyle \cos \phi .}$

${\displaystyle u=\int _{0}{\frac {d\phi }{\cos \phi }}={\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi {\bigr )}.}$

Deduce luego "la definición de lo trascendente",

${\displaystyle \operatorname {gd} u={{\frac {1}{i}}\log \,\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui{\bigr )},}$

observando que "aunque se exhibe en una forma imaginaria, [es] una función real de ". ${\textstyle u}$

El Gudermanniano y su inverso se utilizaron para hacer que las tablas trigonométricas de funciones circulares también funcionen como tablas de funciones hiperbólicas. Dado un ángulo hiperbólico , las funciones hiperbólicas se podían encontrar buscando primero en una tabla Gudermanniana y luego buscando la función circular apropiada de , o localizándola directamente en una columna auxiliar de la tabla trigonométrica. ^[22] ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \phi =\operatorname {gd} \psi }$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \psi }$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$

Generalización

La función Gudermanniana puede considerarse como la representación gráfica de puntos de una rama de una hipérbola en puntos de un semicírculo. Los puntos de una hoja de un hiperboloide n -dimensional de dos hojas pueden representarse también en un hemisferio n -dimensional mediante una proyección estereográfica. El modelo hemisférico del espacio hiperbólico utiliza un mapa de este tipo para representar el espacio hiperbólico.

Aplicaciones

La distancia en el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico desde el vértice de un semicírculo a otro punto sobre él es la función Gudermanniana inversa del ángulo central.

• La función del ángulo de paralelismo en la geometría hiperbólica es el complemento del gudermanniano, ${\displaystyle {\mathit {\Pi }}(\psi )={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} \psi .}$
• En una proyección de Mercator, una línea de latitud constante es paralela al ecuador (en la proyección) a una distancia proporcional al antigudermanniano de la latitud.
• La función Gudermanniana (con un argumento complejo) se puede utilizar para definir la proyección transversal de Mercator . ^[23]
• La función Gudermanniana aparece en una solución no periódica del péndulo invertido . ^[24]
• La función Gudermanniana aparece en una solución de espejo móvil del efecto Casimir dinámico . ^[25]
• Si un número infinito de cables rectos, paralelos, coplanares, equidistantes y de longitud infinita se mantienen a potenciales iguales con signos alternos, la distribución del flujo de potencial en un plano transversal perpendicular a los cables es la función compleja de Gudermann. ^[26]
• La función Gudermanniana es una función sigmoidea y, como tal, a veces se utiliza como función de activación en el aprendizaje automático.
• La función Gudermanniana (escalada y desplazada) es la función de distribución acumulativa de la distribución secante hiperbólica .
• Una función basada en el Gudermanniano proporciona un buen modelo para la forma de los brazos de las galaxias espirales . ^[27]

Véase también

• Tractriz
• Catenaria § Catenaria de igual resistencia

Notas

1. Los símbolos y fueron elegidos para este artículo porque se usan comúnmente en geodesia para la latitud isométrica (coordenada vertical de la proyección de Mercator ) y la latitud geodésica , respectivamente, y la geodesia/cartografía fue el contexto original para el estudio de las funciones Gudermanniana y Gudermanniana inversa. ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \phi }$
2. Gudermann publicó varios artículos sobre las funciones trigonométricas e hiperbólicas en el Crelle's Journal entre 1830 y 1831, que se recopilaron en un libro, Gudermann (1833).
3. Roy y Olver (2010) §4.23(viii) "Función Gudermanniana"; Beyer (1987)
4. Kennelly (1929); Lee (1976)
5. Masson (2021)
6. Gottschalk (2003) págs. 23-27
7. Masson (2021) dibuja gráficos de valores complejos de varios de estos, demostrando que las implementaciones ingenuas que eligen la rama principal de funciones trigonométricas inversas producen resultados incorrectos.
8. Weisstein, Eric W. "Gudermannian". MathWorld .
9. Perrera (1929)
10. Kennelly (1929) pág. 181; Beyer (1987) pág. 269
11. Beyer (1987) p. 269 – note el error tipográfico.
12. Legendre (1817) §4.2.8 (163) págs. 144-145
13. Kennelly (1929) pág. 182
14. Kahlig y Reich (2013)
15. Cayley (1862) pág. 21
16. Kennelly (1929) págs. 180-183
17. Legendre (1817) §4.2.7 (162) págs. 143-144
18. Turnbull, Herbert Westren, ed. (1939). James Gregory; Volumen conmemorativo del tricentenario . G. Bell & Sons. pág. 170.
19. Becker y Van Orstrand (1909)
20. Gudermann (1833)
21. Cayley (1862)
22. Por ejemplo, Hoüel etiqueta las funciones hiperbólicas en la parte superior de la Tabla XIV de: Hoüel, Guillaume Jules (1885). Registro de fórmulas y tablas numéricas. Gauthier-Villars. pag. 36.
23. Osborne (2013) pág. 74
24. Robertson (1997)
25. Bueno, Anderson y Evans (2013)
26. Perrera (1928)
27. Ringermacher y Mead (2009)

Referencias

• Barnett, Janet Heine (2004). "Entra, centro del escenario: el drama temprano de las funciones hiperbólicas" (PDF) . Revista de Matemáticas . 77 (1): 15–30. doi :10.1080/0025570X.2004.11953223.
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Enlaces externos

• Penn, Michael (2020) "¡La función Gudermanniana!" en YouTube.