Términos en matemáticas
En matemáticas , se dice que una función es cerrada si, para cada una , el conjunto de subniveles
es un conjunto cerrado .![{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera equivalente, si el epígrafe definido por
está cerrado, entonces la función está cerrada.![{\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f( x)\leq t\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta definición es válida para cualquier función, pero la más utilizada es para funciones convexas . Una función convexa propia es cerrada si y sólo si es semicontinua inferior . [1] Para una función convexa que no es propia, existe desacuerdo en cuanto a la definición de cierre de la función. [ cita necesaria ]
Propiedades
- Si es una función continua y está cerrada, entonces está cerrada.
![{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mbox{dom}}f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si es una función continua y es abierta, entonces es cerrada si y solo si converge a lo largo de cada secuencia que converge a un punto límite de . [2]
![{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mbox{dom}}f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mbox{dom}}f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Una función convexa propia cerrada f es el supremo puntual de la colección de todas las funciones afines h tales que h ≤ f (llamadas menores afines de f ).
Referencias
- ^ Teoría de la optimización convexa . Atenas científica. 2009. págs. 10, 11. ISBN 978-1886529311.
- ^ Boyd, Esteban; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (PDF) . Nueva York: Cambridge. págs. 639–640. ISBN 978-0521833783.