Función Z

Función Z en el plano complejo, representada con una variante de coloración del dominio .

Función Z en el plano complejo, ampliada.

En matemáticas , la función Z es una función que se utiliza para estudiar la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica donde el argumento es un medio. También se denomina función Z de Riemann-Siegel, función zeta de Riemann-Siegel, función Hardy , función Z de Hardy y función zeta de Hardy . Se puede definir en términos de la función theta de Riemann-Siegel y la función zeta de Riemann mediante

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

De la ecuación funcional de la función zeta de Riemann se deduce que la función Z es real para valores reales de t . Es una función par y analítica real para valores reales. Del hecho de que la función theta de Riemann-Siegel y la función zeta de Riemann son ambas holomorfas en la franja crítica, donde la parte imaginaria de t está entre −1/2 y 1/2, se deduce que la función Z también es holomorfa en la franja crítica. Además, los ceros reales de Z ( t ) son precisamente los ceros de la función zeta a lo largo de la línea crítica, y los ceros complejos en la franja crítica de la función Z corresponden a ceros fuera de la línea crítica de la función zeta de Riemann en su franja crítica.

La fórmula de Riemann-Siegel

El cálculo del valor de Z ( t ) para t real , y por lo tanto de la función zeta a lo largo de la línea crítica, se agiliza enormemente con la fórmula de Riemann-Siegel . Esta fórmula nos dice

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}$

donde el término de error R ( t ) tiene una expresión asintótica compleja en términos de la función

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

y sus derivadas. Si , y entonces ${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}$ ${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }$ ${\displaystyle p=u^{2}-N}$

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}$

donde los puntos suspensivos indican que podemos continuar hacia términos más elevados y cada vez más complejos.

Se conocen otras series eficientes para Z(t), en particular varias que utilizan la función gamma incompleta . Si

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du}$

Entonces un ejemplo especialmente bonito es

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}$

Comportamiento de la función Z

Del teorema de la línea crítica se deduce que la densidad de los ceros reales de la función Z es

${\displaystyle {\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}}$

Para una constante c > 2/5, por lo que el número de ceros en un intervalo de un tamaño determinado aumenta lentamente. Si la hipótesis de Riemann es verdadera, todos los ceros en la franja crítica son ceros reales y la constante c es uno. También se postula que todos estos ceros son ceros simples.

Un teorema omega

Debido a los ceros de la función Z, esta exhibe un comportamiento oscilatorio. También crece lentamente tanto en promedio como en valor máximo. Por ejemplo, tenemos, incluso sin la hipótesis de Riemann, el teorema Omega que

${\displaystyle Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right),}$

donde la notación significa que dividido por la función dentro de Ω no tiende a cero con el aumento de  t . ${\displaystyle Z(t)}$

Crecimiento medio

El crecimiento promedio de la función Z también ha sido muy estudiado. Podemos encontrar el promedio de la raíz cuadrada media (abreviado RMS) a partir de

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}dt\sim \log T}$

lo que nos dice que el tamaño RMS de Z ( t ) crece a medida que . ${\displaystyle {\sqrt {\log t}}}$

Esta estimación se puede mejorar a

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}dt=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+O(T^{-15/22})}$

Si aumentamos el exponente, obtenemos un valor promedio que depende más de los valores pico de  Z. Para cuartas potencias, tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}dt\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}}$

de lo cual podemos concluir que la raíz cuarta de la cuarta potencia media crece como ${\displaystyle {\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t.}$

La hipótesis de Lindelöf

Se han estudiado mucho las potencias pares superiores, pero se sabe menos sobre el valor medio correspondiente. Se conjetura, y se desprende de la hipótesis de Riemann, que

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\,dt=o(T^{\varepsilon })}$

para cada ε positivo. Aquí la notación "o" minúscula significa que el lado izquierdo dividido por el lado derecho converge a cero; en otras palabras, la o minúscula es la negación de Ω. Esta conjetura se llama hipótesis de Lindelöf y es más débil que la hipótesis de Riemann. Normalmente se enuncia en una forma equivalente importante, que es

${\displaystyle Z(t)=o(t^{\varepsilon });}$

En cualquiera de sus formas, nos dice que la tasa de crecimiento de los valores pico no puede ser demasiado alta. El límite mejor conocido de esta tasa de crecimiento no es fuerte, lo que nos indica que cualquiera es adecuado. Sería sorprendente encontrar que la función Z creciera tan rápido como esto. Littlewood demostró que, según la hipótesis de Riemann, ${\displaystyle \epsilon >{\frac {89}{570}}\approx 0.156}$

${\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right),}$

Y esto parece mucho más probable.

Referencias

• Edwards, HM (1974). Función zeta de Riemann . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 58. Nueva York-Londres: Academic Press. ISBN. 0-12-232750-0.Zbl 0315.10035  .
• Ivić, Aleksandar (2013). La teoría de la función Z de Hardy . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 196. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 978-1-107-02883-8.Zbl 1269.11075  .
• París, RB; Kaminski, D. (2001). Asintótica e integrales de Mellin-Barnes . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 85. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-79001-8.Zbl 0983.41019  .
• Ramachandra, K. (febrero de 1996). Lecciones sobre el valor medio y los teoremas omega para la función zeta de Riemann . Lecciones sobre matemáticas y física. Matemáticas. Instituto Tata de Investigación Fundamental. Vol. 85. Berlín: Springer-Verlag . ISBN. 3-540-58437-4.Zbl 0845.11003  .
• Titchmarsh, EC (1986) [1951]. Heath-Brown, DR (ed.). La teoría de la función zeta de Riemann (segunda edición revisada). Oxford University Press .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Funciones de Riemann-Siegel". MundoMatemático .
• Wolfram Research – Función Z de Riemann-Siegel (incluye representación gráfica y evaluación de funciones)