Función T de Owen

En matemáticas, la función T de Owen T ( h ,  a ), llamada así en honor al estadístico Donald Bruce Owen, se define como

${\displaystyle T(h,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}(1+x^{2})}}{1+x^{2}}}dx\quad \left(-\infty <h,a<+\infty \right).}$

La función fue introducida por primera vez por Owen en 1956. ^[1]

Aplicaciones

La función T ( h ,  a ) da la probabilidad del evento ( X > h y 0 < Y < aX ) donde X e Y son variables aleatorias normales estándar independientes .

Esta función se puede utilizar para calcular probabilidades de distribución normal bivariada ^{[2] [3]} y, a partir de allí, en el cálculo de probabilidades de distribución normal multivariada . ^[4] También aparece con frecuencia en varias integrales que involucran funciones gaussianas .

Existen algoritmos informáticos para el cálculo preciso de esta función; ^[5] la cuadratura se ha utilizado desde la década de 1970. ^[6]

Propiedades

${\displaystyle T(h,0)=0}$

${\displaystyle T(0,a)={\frac {1}{2\pi }}\arctan(a)}$

${\displaystyle T(-h,a)=T(h,a)}$

${\displaystyle T(h,-a)=-T(h,a)}$

${\displaystyle T(h,a)+T\left(ah,{\frac {1}{a}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)&{\text{if}}\quad a\geq 0\\{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}&{\text{if}}\quad a<0\end{cases}}}$

${\displaystyle T(h,1)={\frac {1}{2}}\Phi (h)\left(1-\Phi (h)\right)}$

${\displaystyle \int T(0,x)\,\mathrm {d} x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}$

Aquí Φ( x ) es la función de distribución acumulativa normal estándar

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$

Se pueden encontrar más propiedades en la literatura. ^[7]

Referencias

1. Owen, DB (1956). "Tablas para calcular probabilidades normales bivariadas". Anales de estadística matemática , 27, 1075–1090.
2. Sowden, RR y Ashford, JR (1969). "Cálculo de la integral normal bivariada". Applied Statististics , 18, 169–180.
3. Donelly, TG (1973). "Algoritmo 462. Distribución normal bivariada". Commun. Ass. Comput. Mach. , 16, 638.
4. Schervish, MH (1984). "Probabilidades normales multivariadas con límite de error ". Applied Statistics , 33, 81–94.
5. Patefield, M. y Tandy, D. (2000) "Cálculo rápido y preciso de la función T de Owen", Journal of Statistical Software , 5 (5), 1–25.
6. JC Young y Christoph Minder. Algoritmo AS 76
7. Owen (1980)

• Owen, D. (1980). "Una tabla de integrales normales". Comunicaciones en Estadística: Simulación y Computación . B9 (4): 389–419. doi :10.1080/03610918008812164.

Software

• Función T de Owen (sitio web del usuario): ofrece bibliotecas C++, FORTRAN77, FORTRAN90 y MATLAB publicadas bajo la licencia LGPL LGPL
• La función T de Owen está implementada en Mathematica desde la versión 8, como OwenT.

Enlaces externos

• Por qué debería importarnos lo desconocido (publicación del blog de Wolfram)