Operador integral de Fourier

Clase de operadores diferenciales e integrales

En el análisis matemático , los operadores integrales de Fourier se han convertido en una herramienta importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La clase de operadores integrales de Fourier contiene operadores diferenciales , así como operadores integrales clásicos como casos especiales.

Un operador integral de Fourier viene dado por: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i\Phi (x,\xi )}a(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi }$

donde denota la transformada de Fourier de , es un símbolo estándar que se soporta de forma compacta en y es de valor real y homogéneo de grado en . También es necesario exigir que sobre el soporte de a . En estas condiciones, si a es de orden cero, es posible demostrar que define un operador acotado de a . ^[1] ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a(x,\xi )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial \xi _{j}}}\right)\neq 0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Ejemplos

Una de las motivaciones para el estudio de los operadores integrales de Fourier es el operador de solución para el problema de valor inicial del operador de onda. De hecho, considere el siguiente problema:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}(t,x)=\Delta u(t,x)\quad \mathrm {for} \quad (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n},}$

y

${\displaystyle u(0,x)=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f(x),\quad \mathrm {for} \quad f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$^{[ definición necesaria ]}

La solución a este problema viene dada por

${\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle +ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi -{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle -ct|\xi |)}}{2ic|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Estas deben interpretarse como integrales oscilatorias, ya que en general no convergen. Formalmente, esto parece una suma de dos operadores integrales de Fourier, sin embargo, los coeficientes en cada una de las integrales no son suaves en el origen y, por lo tanto, no son símbolos estándar. Si eliminamos esta singularidad con una función de corte, los operadores así obtenidos aún brindan soluciones al problema del valor inicial módulo funciones suaves. Por lo tanto, si solo nos interesa la propagación de singularidades de los datos iniciales, es suficiente considerar dichos operadores. De hecho, si permitimos que la velocidad del sonido c en la ecuación de onda varíe con la posición, aún podemos encontrar un operador integral de Fourier que brinde una solución módulo funciones suaves, y los operadores integrales de Fourier, por lo tanto, brindan una herramienta útil para estudiar la propagación de singularidades de soluciones a ecuaciones de onda de velocidad variable y, de manera más general, para otras ecuaciones hiperbólicas.

Véase también

• Análisis microlocal
• Transformada de Fourier
• Operador pseudodiferencial
• Operador integral oscilatorio
• Categoría simpléctica

Notas

1. Hörmander, Lars (1970), "Operadores integrales de Fourier. I", Acta Mathematica , 127 , Springer Netherlands: 79–183, doi : 10.1007/BF02392052

Referencias

• Elias Stein, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5 
• F. Treves, Introducción a los operadores pseudodiferenciales e integrales de Fourier (University Series in Mathematics), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4 
• JJ Duistermaat , Operadores integrales de Fourier, (Progreso en matemáticas), Birkhäuser 1995. ISBN 0-8176-3821-0 

Enlaces externos

• "Operador integral de Fourier", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]