Reconstrucción de señal

Tema importante de procesamiento e ingeniería de señales.

En el procesamiento de señales , la reconstrucción generalmente significa la determinación de una señal continua original a partir de una secuencia de muestras equiespaciadas.

Este artículo adopta un enfoque matemático abstracto generalizado para el muestreo y la reconstrucción de señales. Para obtener un enfoque más práctico basado en señales de banda limitada, consulte la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Principio general

Sea F cualquier método de muestreo, es decir, una aplicación lineal desde el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado hasta el espacio complejo . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

En nuestro ejemplo, el espacio vectorial de señales muestreadas es un espacio complejo de n dimensiones. Cualquier R inversa propuesta de F ( fórmula de reconstrucción , en la jerga) tendría que asignarse a algún subconjunto de . Podríamos elegir este subconjunto arbitrariamente, pero si queremos una fórmula de reconstrucción R que también sea un mapa lineal, entonces tenemos que elegir un subespacio lineal de n dimensiones de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Este hecho de que las dimensiones tienen que concordar está relacionado con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .

El enfoque del álgebra lineal elemental funciona aquí. Sea (todas las entradas cero, excepto la k -ésima entrada, que es un uno) o alguna otra base de . Para definir una inversa para F , simplemente elija, para cada k , un tal que . Esto define de forma única la (pseudo) inversa de F . ${\displaystyle d_{k}:=(0,...,0,1,0,...,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{k}\in L^{2}}$ ${\displaystyle F(e_{k})=d_{k}}$

Por supuesto, primero se puede elegir alguna fórmula de reconstrucción y luego calcular algún algoritmo de muestreo a partir de la fórmula de reconstrucción o analizar el comportamiento de un algoritmo de muestreo determinado con respecto a la fórmula dada.

Idealmente, la fórmula de reconstrucción se obtiene minimizando la varianza del error esperado. Esto requiere que se conozcan las estadísticas de la señal o que se pueda especificar una probabilidad previa para la señal. La teoría del campo de la información es entonces un formalismo matemático apropiado para derivar una fórmula de reconstrucción óptima. ^[1]

Fórmulas de reconstrucción populares

Quizás la fórmula de reconstrucción más utilizada sea la siguiente. Sea una base de en el sentido del espacio de Hilbert; por ejemplo, se podría utilizar el eikonal ${\displaystyle \{e_{k}\}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle e_{k}(t):=e^{2\pi ikt}\,}$,

aunque ciertamente son posibles otras opciones. Tenga en cuenta que aquí el índice k puede ser cualquier número entero, incluso negativo.

Entonces podemos definir un mapa lineal R por

${\displaystyle R(d_{k})=e_{k}\,}$

para cada uno , ¿dónde está la base de dada por ${\displaystyle k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$ ${\displaystyle (d_{k})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle d_{k}(j)=e^{2\pi ijk \over n}}$

(Esta es la base discreta habitual de Fourier).

La elección del rango es algo arbitraria, aunque satisface el requisito de dimensionalidad y refleja la noción habitual de que la información más importante está contenida en las bajas frecuencias. En algunos casos, esto es incorrecto, por lo que es necesario elegir una fórmula de reconstrucción diferente. ${\displaystyle k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$

Se puede obtener un enfoque similar utilizando wavelets en lugar de bases de Hilbert. Para muchas aplicaciones, todavía no está claro cuál es el mejor enfoque. ^{[ ¿investigacion original? ]}

Ver también

• alias
• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon

Referencias

1. "Teoría del campo de la información". Sociedad Max Planck . Consultado el 13 de noviembre de 2014 .