Familia grupal

En teoría de probabilidad , especialmente en la forma en que se utiliza en estadística , una familia de grupos de distribuciones de probabilidad es una que se obtiene al someter una variable aleatoria con una distribución fija a una transformación adecuada, como una familia de ubicación-escala , o de otro modo una de distribuciones de probabilidad sobre las que actúa un grupo . ^[1] Considerar una familia de distribuciones como una familia de grupos puede, en teoría estadística , llevar a identificar estadísticas auxiliares . ^[2]

Tipos

Se puede generar una familia de grupos sometiendo una variable aleatoria con una distribución fija a algunas transformaciones adecuadas . ^[1] Los diferentes tipos de familias de grupos son los siguientes:

Ubicación

Esta familia se obtiene sumando una constante a una variable aleatoria . Sea una variable aleatoria y sea una constante. Sea . Entonces Para una distribución fija, como varía de a , las distribuciones que obtenemos constituyen la familia de localización. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in R}$ ${\textstyle Y=X+a}$ $${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X+a\leq y)=P(X\leq y-a)=F_{X}(y-a)}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Escala

Esta familia se obtiene multiplicando una variable aleatoria por una constante. Sea una variable aleatoria y una constante. Sea . Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c\in R^{+}}$ ${\textstyle Y=cX}$ $${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX\leq y)=P(X\leq y/c)=F_{X}(y/c)}$$

Ubicación–escala

Esta familia se obtiene multiplicando una variable aleatoria por una constante y luego agregándole alguna otra constante. Sea una variable aleatoria y sean constantes. Sea . Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in R}$ ${\displaystyle c\in R^{+}}$ ${\displaystyle Y=cX+a}$

$${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(cX+a\leq y)=P(X\leq (y-a)/c)=F_{X}((y-a)/c)}$$

Tenga en cuenta que es importante que y para satisfacer las propiedades mencionadas en la siguiente sección. ${\textstyle a\in R}$ ${\displaystyle c\in R^{+}}$

Transformación

La transformación aplicada a la variable aleatoria debe satisfacer las propiedades de cierre bajo composición e inversión. ^[1]

Referencias

1. Lehmann, EL; George Casella (1998). Teoría de la estimación puntual (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-98502-6.
2. Cox, DR (2006) Principios de inferencia estadística , CUP. ISBN 0-521-68567-2 (Sección 4.4.2)