Fórmula de Koide

Ecuación empírica inexplicable en física de partículas

La fórmula de Koide es una ecuación empírica inexplicable descubierta por Yoshio Koide en 1981. En su forma original, no es completamente empírica sino un conjunto de conjeturas para un modelo de masas de quarks y leptones, así como de ángulos CKM. De este modelo sobrevive la observación sobre las masas de los tres leptones cargados ; autores posteriores han extendido la relación a los neutrinos , quarks y otras familias de partículas . ^{[1] : 64–66}

Fórmula

La fórmula de Koide es

${\displaystyle Q={\frac {~m_{e}+m_{\mu }+m_{\tau }~}{\left(\ {\sqrt {\ m_{e}\ }}+{\sqrt {\ m_{\mu }\ }}+{\sqrt {\ m_{\tau }\ }}\ \right)^{2}}}=0.666661(7)\approx {\frac {\ 2\ }{3}}\ ,}$

donde las masas del electrón , muón y tau se miden respectivamente como m _e = 0,510 998 946 (3)  MeV/ c ² , m _μ = 105,658 3745 (24) MeV/ c ² , y m _τ = 1 776 .86(12) MeV/ c ²  ; los dígitos entre paréntesis son las incertidumbres en los últimos dígitos. ^[2] Esto da Q = 0,666 661 (7) .^[a]

No importa qué masas se elijan para reemplazar al electrón, al muón y al tau, la relación Q está restringida a ⁠  1 /3⁠ ≤ Q < 1 .El límite superior se deduce del hecho de que las raíces cuadradas son necesariamente positivas, y el límite inferior se deduce de ladesigualdad de Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz. El valor determinado experimentalmente, ⁠  2 /3⁠ , se encuentra en el centro del rango matemáticamente permitido. Pero tenga en cuenta que, eliminando el requisito de raíces positivas, es posible colocar una tupla adicional en el sector de quarks (la que tiene strange, charm y bottom).

El misterio está en el valor físico. El resultado no sólo es peculiar, ya que tres números aparentemente arbitrarios dan una fracción simple, sino también porque en el caso del electrón, el muón y el tau, Q está exactamente a medio camino entre los dos extremos de todas las combinaciones posibles : 1 /3⁠ (si las tres masas fueran iguales) y 1 (si una masa empequeñece a las otras dos). Q es una cantidad adimensional , por lo que la relación se cumple independientemente de qué unidad se utilice para expresar las magnitudes de las masas.

Robert Foot también interpretó la fórmula de Koide como una relación geométrica, en la que el valor es el coseno al cuadrado del ángulo entre el vector y el vector (ver producto escalar ). ^[3] Ese ángulo es casi exactamente 45 grados: ^[3] ${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 3\ Q\ }}\ }$ ${\displaystyle \ [\ {\sqrt {\ m_{e}\ }},{\sqrt {\ m_{\mu }\ }},{\sqrt {\ m_{\tau }\ }}\ ]\ }$ ${\displaystyle \ [\ 1,1,1\ ]\ }$ ${\displaystyle \ \theta =45.000^{\circ }\pm 0.001^{\circ }~.}$

Cuando se supone que la fórmula se cumple exactamente ( Q = ⁠ 2 /3) ,se puede utilizar para predecir la masa tau a partir de las masas del electrón y el muón (conocidas con mayor precisión); esa predicción es m _τ = 1 776,969 MeV/ c2 . ^{[ 4]}

Aunque la fórmula original surgió en el contexto de los modelos preónicos , se han encontrado otras formas de derivarla (tanto por Sumino como por Koide; véanse las referencias a continuación). Sin embargo, en general, la comprensión sigue siendo incompleta. Se han encontrado coincidencias similares para tripletes de quarks en función de las masas en movimiento. ^{[5] [6] [7]} Con quarks alternados, encadenando ecuaciones de Koide para tripletes consecutivos, es posible llegar a un resultado de 173,263947(6) GeV para la masa del quark top . ^[8]

Extensión especulativa

Carl Brannen ha propuesto ^[4] que las masas de los leptones están dadas por los cuadrados de los valores propios de una matriz circulante con valores propios reales, correspondientes a la relación

${\displaystyle {\sqrt {\,m_{n}\;}}=\mu \left[\,1+2\eta \cos \left(\delta +{\frac {\,2\pi \,}{3}}\cdot n\right)\,\right]~,~}$para n = 0, 1, 2, ...

que se puede ajustar a datos experimentales con η ² = 0,500003(23) (correspondiente a la relación de Koide) y fase δ = 0,2222220(19), que es casi exactamente ⁠2/9⁠  . Sin embargo, los datos experimentales están en conflicto con la igualdad simultánea de η ² = ⁠1/2⁠ y δ = ⁠2/9⁠  . ^[4]

Este tipo de relación también se ha propuesto para las familias de quarks, con fases iguales a valores de baja energía .2/27⁠ = ⁠2/9×​​1/3⁠ y ⁠4/27⁠ = ⁠2/9×​​2/3⁠ , lo que sugiere una relación con la carga de la familia de partículas ( ⁠1/3⁠ y ⁠2/3⁠ para quarks vs. ⁠3/3⁠ = 1 para los leptones, donde ⁠  1/3×​​2/3×​​3/3⁠ ≈ δ  ) . ^[9]

Orígenes

La derivación original ^[10] postula con las condiciones ${\displaystyle \ m_{e_{i}}\propto \ (z_{0}+z_{i})^{2}\ }$

${\displaystyle \ z_{1}+z_{2}+z_{3}=0\ }$

${\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{3}}\ (z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2})=z_{0}^{2}\ }$

de donde se sigue la fórmula. Además, se postuló que las masas de los neutrinos y los quarks down eran proporcionales a mientras que las masas de los quarks up eran proporcionales a ${\displaystyle \ z_{i}^{2}\ }$ ${\displaystyle \ \propto \ (z_{0}+2z_{i})^{2}~.}$

El modelo publicado ^[11] justifica la primera condición como parte de un esquema de ruptura de simetría, y la segunda como una "carga de sabor" para los preones en la interacción que causa esta ruptura de simetría.

Nótese que en forma matricial con y las ecuaciones son simplemente y ${\displaystyle ~~M=A\ A^{\dagger }~~}$ ${\displaystyle ~~A=Z_{0}+Z~~}$ ${\displaystyle ~~\operatorname {tr} Z=0~~}$ ${\displaystyle ~~\operatorname {tr} Z_{0}^{2}=\operatorname {tr} Z^{2}~.}$

Fórmulas similares

Existen fórmulas similares que relacionan otras masas. Las masas de los quarks dependen de la escala de energía utilizada para medirlas, lo que hace que el análisis sea más complicado. ^[12]

Tomando los tres quarks más pesados, charm (1,275 ± 0,03 GeV) , bottom (4,180 ± 0,04 GeV) y top (173,0 ± 0,40 GeV) , independientemente de sus incertidumbres, se llega al valor citado por F. G. Cao (2012): ^[13]

${\displaystyle Q_{\text{heavy}}={\frac {m_{c}+m_{b}+m_{t}}{{\big (}{\sqrt {m_{c}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{t}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.669\approx {\frac {2}{3}}.}$

Rodejohann y Zhang notaron esto en la preimpresión de su artículo de 2011, ^[14] pero la observación fue eliminada en la versión publicada, ^[5] por lo que la primera mención publicada es de 2012 de Cao. ^[13]

De manera similar, las masas de los quarks más ligeros, up (2,2 ± 0,4 MeV) , down (4,7 ± 0,3 MeV) y strange (95,0 ± 4,0 MeV) , sin utilizar sus incertidumbres experimentales, dan

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {m_{u}+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {m_{u}}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}\approx 0.57\approx {\frac {5}{9}},}$

un valor también citado por Cao en el mismo artículo. ^[13]

Téngase en cuenta que un artículo anterior, de H. Harari , et al., ^[15] calcula valores teóricos para los quarks up, down y strange, coincidiendo coincidentemente con la fórmula posterior de Koide, aunque con un quark up sin masa.

${\displaystyle Q_{\text{light}}={\frac {0+m_{d}+m_{s}}{{\big (}{\sqrt {0}}+{\sqrt {m_{d}}}+{\sqrt {m_{s}}}{\big )}^{2}}}}$

Desplazamiento de las masas de partículas

En la teoría cuántica de campos , cantidades como la constante de acoplamiento y la masa "corren" con la escala de energía. ^[16] Es decir, su valor depende de la escala de energía en la que se produce la observación, de una manera descrita por una ecuación de grupo de renormalización (RGE). ^[17] Por lo general, se espera que las relaciones entre tales cantidades sean simples a altas energías (donde cierta simetría es ininterrumpida ) pero no a bajas energías, donde el flujo RG habrá producido desviaciones complicadas de la relación de alta energía. La relación de Koide es exacta (dentro del error experimental) para las masas de los polos , que son cantidades de baja energía definidas en diferentes escalas de energía. Por esta razón, muchos físicos consideran la relación como "numerología" . ^[18]

Sin embargo, el físico japonés Yukinari Sumino ha propuesto mecanismos para explicar los orígenes del espectro de leptones cargados así como la fórmula de Koide, por ejemplo, construyendo una teoría de campo efectiva con una nueva simetría de calibre que hace que las masas de los polos satisfagan exactamente la relación. ^[19] Koide ha publicado sus opiniones sobre el modelo de Sumino. ^{[20] [21]} La tesis doctoral de François Goffinet ofrece una discusión sobre las masas de los polos y cómo la fórmula de Koide puede ser reformulada para evitar el uso de raíces cuadradas para las masas. ^[22]

Como soluciones a una ecuación cúbica

Una ecuación cúbica suele surgir en caso de ruptura de simetría al resolver el vacío del bosón de Higgs, y es un objeto natural cuando se consideran tres generaciones de partículas. Esto implica hallar los valores propios de una matriz de masas de 3×3.

Para este ejemplo, considere un polinomio característico

${\displaystyle \ 4\ m^{3}-24\ n^{2}\ m^{2}+9\ n\ (n^{3}-4)\ m-9\ }$^{[ cita requerida ]}

con raíces que deben ser reales y positivas. ${\displaystyle \ m_{j}\ :\ j=1,2,3\ ,}$

Para derivar la relación de Koide, sea y el polinomio resultante se puede factorizar en ${\displaystyle \ m\equiv x^{2}\ }$

${\displaystyle \ (\ 2\ x^{3}-6\ n\ x^{2}+3\ n^{2}x-3\ )(\ 2\ x^{3}+6\ n\ x^{2}+3\ n^{2}\ x+3\ )\ }$

o

${\displaystyle \ 4\ (\ x^{3}-3\ n\ x^{2}+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}x-{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ )(\ x^{3}+3\ n\ x^{2}+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}\ x+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ )\ }$

Los polinomios simétricos elementales de las raíces deben reproducir los coeficientes correspondientes del polinomio que resuelven, por lo que y Tomando la razón de estos polinomios simétricos, pero elevando al cuadrado el primero de modo que dividimos el parámetro desconocido obtenemos una fórmula de tipo Koide: Independientemente del valor de las soluciones de la ecuación cúbica para debe satisfacer ${\displaystyle ~~x_{1}+x_{2}+x_{3}=\pm 3\ n~~}$ ${\displaystyle ~~x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=+{\tfrac {3}{\ 2\ }}\ n^{2}~.}$ ${\displaystyle \ n\ ,}$ ${\displaystyle \ n\ ,}$ ${\displaystyle \ x\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ 2\ (x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ (3\ n^{2})\ }{~(\pm 3\ n)^{2}\ }}={\frac {\ 1\ }{3}}\ }$

entonces

${\displaystyle \ 1-{\frac {\ 2\ x_{1}x_{2}+2\ x_{2}x_{3}+2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}=1-{\frac {\ 1\ }{3}}={\frac {\ 2\ }{3}}\ ~.}$

y

${\displaystyle \ 1-{\frac {\ 2\ x_{1}x_{2}+2\ x_{2}x_{3}+2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2\ x_{1}x_{2}-2\ x_{2}x_{3}-2\ x_{3}x_{1}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}={\frac {\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\ }{~(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}\ }}~.}$

Convirtiendo de nuevo a ${\displaystyle \ {\sqrt {\ m\ }}=x\ }$

${\displaystyle {\frac {\ m_{1}+m_{2}+m_{3}\ }{\ \left(\ {\sqrt {\ m_{1}\ }}+{\sqrt {\ m_{2}\ }}+{\sqrt {\ m_{3}\ }}\ \right)^{2}\ }}={\frac {\ 2\ }{3}}\ ~.}$

Para el caso relativista, la disertación de Goffinet presentó un método similar para construir un polinomio con sólo potencias pares de ${\displaystyle \ m~.}$

Mecanismo de Higgs

Koide propuso que una explicación para la fórmula podría ser una partícula de Higgs con carga de sabor dada por: ${\displaystyle U(3)}$ ${\displaystyle \Phi ^{a{\overline {b}}}}$

${\displaystyle \ V(\Phi )=\left[\ 2\ \left[tr(\Phi )\right]^{2}-3\ tr(\Phi ^{2})\ \right]^{2}\ }$

con los términos de masa del leptón cargado dados por ^[23] Tal potencial se minimiza cuando las masas se ajustan a la fórmula de Koide. La minimización no da la escala de masa, que tendría que darse mediante términos adicionales del potencial, por lo que la fórmula de Koide podría indicar la existencia de partículas escalares adicionales más allá del bosón de Higgs del Modelo Estándar . ${\displaystyle \ {\overline {\psi }}\ \Phi ^{2}\ \psi ~.}$

De hecho, uno de esos potenciales de Higgs sería precisamente aquel que, al expandirse en términos de trazas, simplificaría el determinante utilizando las relaciones de Koide. ${\displaystyle V(\Phi )=\det[(\Phi -{\sqrt {m_{e}}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\mu }}})]^{2}+\det[(\Phi -{\sqrt {m_{\tau }}})]^{2}}$

Notas al pie

1. Dado que las incertidumbres en m _e y m _μ son mucho menores que las de m _τ , la incertidumbre en Q se calculó como ${\displaystyle \ \Delta Q={\frac {\ \partial \ Q~}{\;\partial \ m_{\tau }\ }}\ \Delta m_{\tau }~.}$

Véase también

• Momento dipolar magnético anómalo
• Matriz CKM
• Álgebra de Clifford
• Generación
• Mecanismo de Higgs
• Alternativas al modelo estándar de Higgs
• Matriz de PMNS
• Complementariedad quark-leptón
• Mecanismo de balancín
• Tecnicolor

Referencias

1. Zenczykowski, P., Partículas elementales y espacio de fase emergente ( Singapur : World Scientific , 2014), págs. 64–66.
2. Amsler, C.; et al. ( Particle Data Group ) (2008). "Revisión de la física de partículas" (PDF) . Physics Letters B . 667 (1–5): 1–6. Bibcode :2008PhLB..667....1A. doi :10.1016/j.physletb.2008.07.018. hdl : 1854/LU-685594 . PMID  10020536. S2CID  227119789.
3. Foot, R. (7 de febrero de 1994). "Una nota sobre la relación de masas de los leptones de Koide". arXiv : hep-ph/9402242 .
4. Brannen, Carl A. (2 de mayo de 2006). "The lepton masses" (PDF) . Sitio web personal de Brannen . Consultado el 18 de octubre de 2020 .
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6. Rosen, G. (2007). "Desarrollo heurístico de un modelo de Dirac-Goldhaber para la estructura de leptones y quarks". Modern Physics Letters A . 22 (4): 283–288. Bibcode :2007MPLA...22..283R. doi :10.1142/S0217732307022621.
7. Kartavtsev, A. (2011). "Una observación sobre la relación de Koide para quarks". arXiv : 1111.0480 [hep-ph].
8. Rivero, A. (2011). "Una nueva tupla de Koide: Strange-charm-bottom". arXiv : 1111.7232 [hep-ph].
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10. Koide, Y. (1981), Masas de quarks y leptones especuladas a partir de un modelo de subquark
11. Koide, Y. (1983). "Un modelo compuesto de fermiones y bosones de quarks y leptones". Physics Letters B . 120 (1–3): 161–165. Código Bibliográfico :1983PhLB..120..161K. doi :10.1016/0370-2693(83)90644-5.
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13. Cao, FG (2012). "Masas de neutrinos a partir de relaciones de masas de leptones y quarks y oscilaciones de neutrinos". Physical Review D . 85 (11): 113003. arXiv : 1205.4068 . Código Bibliográfico :2012PhRvD..85k3003C. doi :10.1103/PhysRevD.85.113003. S2CID  118565032.
14. Rodejohann, W.; Zhang, H. (2011). "Extensión de una relación empírica de masa de leptones cargados al sector de neutrinos". arXiv : 1101.5525 [hep-ph].
15. Harari, Haim; Haut, Hervé; Weyers, Jacques (1978). "Masas de quarks y ángulos de cabibbo]" (PDF) . Physics Letters B . 78 (4): 459–461. Bibcode :1978PhLB...78..459H. doi :10.1016/0370-2693(78)90485-9.
16. Álvarez-Gaumé, L .; Vázquez-Mozo, MA (2012). Una invitación a la teoría cuántica de campos . Berlín, DE / Heidelberg, DE: Springer. págs. 151-152.
17. Green, D. (2016). Cosmología con MATLAB . Singapur : World Scientific . pág. 197.
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22. Goffinet, F. (2008). Un enfoque ascendente de las masas de fermiones (PDF) (tesis doctoral). Lovaina, FR: Université catholique de Louvain .
23. Koide, Yoshio (1990). "Regla de suma de masas de leptones cargados del modelo de potencial de Higgs de la familia U(3)". Modern Physics Letters A . 5 (28): 2319–2324. Código Bibliográfico :1990MPLA....5.2319K. doi :10.1142/S0217732390002663.

Lectura adicional

• Koide, Y. (1983). "Nueva visión de la jerarquía de masas de quarks y leptones". Physical Review D . 28 (1): 252–254. Código Bibliográfico :1983PhRvD..28..252K. doi :10.1103/PhysRevD.28.252.

• Koide, Y. (1984). "Fe de erratas: Nueva visión de la jerarquía de masas de quarks y leptones". Physical Review D . 29 (7): 1544. Bibcode :1984PhRvD..29Q1544K. doi : 10.1103/PhysRevD.29.1544 .

• Oneda, S.; Koide, Y. (1991). Simetría asintótica y su implicación en la física de partículas elementales. World Scientific . ISBN 978-981-02-0498-3.
• Koide, Y. (2000). "Matrices de masa de quarks y leptones con una forma invariante de permutación cíclica" (PDF) . Física . arXiv : hep-ph/0005137 . Código Bibliográfico :2000hep.ph....5137K. Archivado desde el original (PDF) el 23 de octubre de 2022 . Consultado el 26 de agosto de 2021 .
• Koide, Y. (2005). "Desafío al misterio de la masa del leptón cargado". arXiv : hep-ph/0506247 .
• Li, N.; Ma, B.-Q. (2006). "Independencia de la escala de energía para las masas de quarks y leptones". Physical Review D . 73 (1): 013009. arXiv : hep-ph/0601031 . Código Bibliográfico :2006PhRvD..73a3009L. doi :10.1103/PhysRevD.73.013009. S2CID  2624370.
• Brannen, C. (2010). "Integrales de trayectoria de espín y generaciones" (PDF) . Fundamentos de la física . 40 (11): 1681–1699. arXiv : 1006.3114 . Bibcode :2010FoPh...40.1681B. CiteSeerX  10.1.1.749.3756 . doi :10.1007/s10701-010-9465-8. S2CID  11007648.(Véase los enlaces de referencia del artículo "Las masas de los leptones" y "Resultados recientes del experimento MINOS").

Enlaces externos

• Medios relacionados con la fórmula de Koide en Wikimedia Commons
• Wolfram Alpha, el enlace resuelve la masa tau predicha a partir de la fórmula de Koide.