Gravedad teórica

En geodesia y geofísica , la gravedad teórica o gravedad normal es una aproximación de la gravedad de la Tierra , sobre o cerca de su superficie, mediante un modelo matemático . El modelo teórico más común es un elipsoide de revolución terrestre en rotación (es decir, un esferoide ).

Se pueden utilizar otras representaciones de la gravedad en el estudio y análisis de otros cuerpos, como los asteroides . Las representaciones de un campo gravitatorio ampliamente utilizadas en el contexto de la geodesia incluyen los armónicos esféricos, los modelos Mascon y las representaciones de gravedad poliédricas. ^[1]

Principios

El tipo de modelo de gravedad utilizado para la Tierra depende del grado de fidelidad requerido para un problema determinado. Para muchos problemas, como la simulación de aeronaves, puede ser suficiente considerar que la gravedad es una constante, definida como: ^[2]

${\displaystyle g=g_{45}=}$9,80665 m/s2 ⁽ 32,1740 pies/ ^s2 )

basado en datos del Sistema Geodésico Mundial 1984 ( WGS-84 ), donde se entiende que apunta "hacia abajo" en el marco de referencia local. ${\displaystyle g}$

Si se desea modelar el peso de un objeto en la Tierra en función de la latitud , se podría utilizar lo siguiente: ^{[2] : 41}

${\displaystyle g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {poles} }-g_{\mathrm {equator} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)}$

dónde

• ${\displaystyle g_{\mathrm {poles} }}$= 9,832 m/s2 ⁽ 32,26 pies/ ^s2 )
• ${\displaystyle g_{45}}$= 9,806 m/s2 ⁽ 32,17 pies/ ^s2 )
• ${\displaystyle g_{\mathrm {equator} }}$= 9,780 m/s2 ⁽ 32,09 pies/ ^s2 )
• ${\displaystyle \varphi }$= latitud, entre −90° y +90°

Ninguno de estos tiene en cuenta los cambios de gravedad con los cambios de altitud, pero el modelo con la función coseno sí tiene en cuenta el alivio centrífugo que se produce por la rotación de la Tierra. En la esfera giratoria, la suma de la fuerza del campo gravitatorio y la fuerza centrífuga produce una desviación angular de aproximadamente

${\displaystyle {\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}}$

(en radianes) entre la dirección del campo gravitatorio y la dirección medida por una plomada; la plomada parece apuntar hacia el sur en el hemisferio norte y hacia el norte en el hemisferio sur. rad/s es la velocidad angular diurna del eje de la Tierra, y km el radio de la esfera de referencia y la distancia del punto en la corteza terrestre al eje de la Tierra. ^[3] ${\displaystyle \Omega \approx 7.29\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle R\approx 6370}$ ${\displaystyle R\sin \varphi }$

En el caso del efecto de atracción de masas en sí, la aceleración gravitacional en el ecuador es aproximadamente un 0,18 % menor que en los polos debido a que está ubicado más lejos del centro de masas. Cuando se incluye el componente rotacional (como se indicó anteriormente), la gravedad en el ecuador es aproximadamente un 0,53 % menor que en los polos, y la gravedad en los polos no se ve afectada por la rotación. Por lo tanto, el componente rotacional del cambio debido a la latitud (0,35 %) es aproximadamente el doble de significativo que el cambio de atracción de masas debido a la latitud (0,18 %), pero ambos reducen la fuerza de la gravedad en el ecuador en comparación con la gravedad en los polos.

Cabe señalar que, en el caso de los satélites, las órbitas están desacopladas de la rotación de la Tierra, por lo que el período orbital no es necesariamente de un día, pero también que los errores pueden acumularse en varias órbitas, por lo que la precisión es importante. Para estos problemas, la rotación de la Tierra sería irrelevante a menos que se modelen las variaciones con la longitud. Además, la variación de la gravedad con la altitud se vuelve importante, especialmente para órbitas muy elípticas.

El Modelo Gravitacional de la Tierra de 1996 ( EGM96 ) contiene 130.676 coeficientes que refinan el modelo del campo gravitacional de la Tierra. ^{[2] : 40} El término de corrección más significativo es aproximadamente dos órdenes de magnitud más significativo que el siguiente término más grande. ^{[2] : 40} Ese coeficiente se conoce como el término y explica el aplanamiento de los polos, o la oblatividad , de la Tierra. (Una forma alargada en su eje de simetría, como un balón de fútbol americano, se llamaría prolato ). Se puede escribir una función de potencial gravitacional para el cambio en la energía potencial para una unidad de masa que se lleva desde el infinito a la proximidad de la Tierra. Tomar derivadas parciales de esa función con respecto a un sistema de coordenadas resolverá los componentes direccionales del vector de aceleración gravitacional, como una función de la ubicación. El componente debido a la rotación de la Tierra puede entonces incluirse, si es apropiado, en función de un día sideral relativo a las estrellas (≈366,24 días/año) en lugar de un día solar (≈365,24 días/año). Ese componente es perpendicular al eje de rotación en lugar de a la superficie de la Tierra. ${\displaystyle J_{2}}$

Un modelo similar ajustado a la geometría y al campo gravitacional de Marte se puede encontrar en la publicación NASA SP-8010. ^[4]

La aceleración gravitacional baricéntrica en un punto del espacio viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} }$

dónde:

M es la masa del objeto que atrae, es el vector unitario del centro de masa del objeto que atrae al centro de masa del objeto que se acelera, r es la distancia entre los dos objetos y G es la constante gravitacional . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }$

Cuando se realiza este cálculo para objetos en la superficie de la Tierra, o aeronaves que giran con la Tierra, hay que tener en cuenta el hecho de que la Tierra está girando y la aceleración centrífuga debe restarse de esto. Por ejemplo, la ecuación anterior da la aceleración a 9,820 m/s ² , cuando GM = 3,986 × 10 ¹⁴ m ³ /s ² , y R = 6,371 × 10 ⁶ m. El radio centrípeto es r = R cos( φ ) , y la unidad de tiempo centrípeta es aproximadamente ( día / 2 π ), lo que reduce esto, para r = 5 × 10 ⁶ metros, a 9,79379 m/s ² , que está más cerca del valor observado. ^{[ cita requerida ]}

Fórmulas básicas

Varias fórmulas, cada vez más refinadas, para calcular la gravedad teórica se conocen como la Fórmula Internacional de la Gravedad , la primera de las cuales fue propuesta en 1930 por la Asociación Internacional de Geodesia . La forma general de esa fórmula es:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

donde g ( φ ) es la gravedad en función de la latitud geográfica φ de la posición cuya gravedad se va a determinar, denota la gravedad en el ecuador (determinada por medición), y los coeficientes A y B son parámetros que deben seleccionarse para producir un buen ajuste global a la gravedad real. ^[5] ${\displaystyle g_{e}}$

Utilizando los valores del sistema de referencia GRS80 , una instanciación específica comúnmente utilizada de la fórmula anterior viene dada por:

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[5]

Usando la fórmula del doble ángulo apropiada en combinación con la identidad pitagórica , esto se puede reescribir en las formas equivalentes

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

Hasta la década de 1960, se utilizaban a menudo fórmulas basadas en el elipsoide de Hayford (1924) y del famoso geodesista alemán Helmert (1906). ^{[ cita requerida ]} La diferencia entre el semieje mayor (radio ecuatorial) del elipsoide de Hayford y el del elipsoide moderno WGS84 es251 m ; para el elipsoide de Helmert es sólo63 metros .

Ecuación de Somigliana

Una fórmula teórica más reciente para la gravedad en función de la latitud es la Fórmula Internacional de Gravedad 1980 (IGF80), también basada en el elipsoide GRS80 pero que ahora utiliza la ecuación de Somigliana (según Carlo Somigliana (1860-1955) ^[6] ):

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

donde, ^[7]

• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$(fórmula constante);
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$es la gravedad definida en el ecuador y los polos, respectivamente;
• ${\displaystyle a,b}$son los semiejes ecuatorial y polar, respectivamente;
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$es la excentricidad al cuadrado del esferoide ;

siempre que,

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[5]

Un refinamiento posterior, basado en el elipsoide WGS84 , es la Fórmula de Gravedad Elipsoidal WGS ( Sistema Geodético Mundial ) de 1984: ^[7]

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

(donde = 9,8321849378 ms ⁻² ) ${\displaystyle g_{p}}$

La diferencia con IGF80 es insignificante cuando se utiliza con fines geofísicos , ^[5] pero puede ser significativa para otros usos.

Más detalles

Para la gravedad normal del elipsoide del nivel del mar, es decir, elevación h = 0, se aplica esta fórmula de Somigliana (1929): ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

con

• ${\displaystyle \gamma _{a}}$= Gravedad normal en el Ecuador
• ${\displaystyle \gamma _{b}}$= Gravedad normal en los polos
• a = semieje mayor (radio del ecuador)
• b = semieje menor (radio del polo)
• ${\displaystyle \varphi }$= latitud

Por cuestiones numéricas la fórmula se simplifica así:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

con

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}$
• ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad }$( e es la excentricidad )

Para el Sistema de Referencia Geodésico 1980 (GRS 80) los parámetros se establecen en estos valores:

${\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

Fórmula de aproximación a partir de expansiones en serie

La fórmula de Somigliana se aproximó mediante diferentes expansiones en series , siguiendo este esquema:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

Fórmula de gravedad internacional 1930

La fórmula de gravedad normal de Gino Cassinis fue determinada en 1930 por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica como fórmula de gravedad internacional junto con el elipsoide de Hayford . Los parámetros son:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Con el paso del tiempo los valores fueron mejorando gracias a nuevos conocimientos y métodos de medición más precisos.

Harold Jeffreys mejoró los valores en 1948 en:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Fórmula de gravedad internacional 1967

La fórmula de gravedad normal del Sistema de Referencia Geodésica 1967 se define con los valores:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Fórmula de gravedad internacional 1980

De los parámetros del GRS 80 surge la clásica ampliación de la serie:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}$

La precisión es de aproximadamente ±10 ⁻⁶ m/s ² .

Con GRS 80 también se introduce la siguiente ampliación de serie:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}$

Como tal los parámetros son:

• c ₁  = 5,279 0414·10 ⁻³
• c2 = _2,327  18·10 ⁻⁵
• c3 = _1,262  ·10 ⁻⁷
• c ₄  = 7·10 ⁻¹⁰

La precisión es de aproximadamente ±10 ⁻⁹ m/s2 ^. Cuando no se requiere precisión, se pueden omitir los términos que aparecen más atrás, pero se recomienda utilizar esta fórmula finalizada.

Dependencia de la altura

Cassinis determinó la dependencia de la altura, como:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

La densidad media de la roca  ρ ya no se considera.

Desde GRS 1967 la dependencia de la elevación elipsoidal  h es:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

Otra expresión es:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

con los parámetros derivados de GRS80:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

donde con : ^[8] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \omega =7.2921150\cdot 10^{-5}\ rad\cdot s^{-1}}$

${\displaystyle m={\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{GM}}}$

Este ajuste es adecuado para alturas comunes en la aviación , pero para alturas hasta el espacio exterior (más de 100 kilómetros aproximadamente) está fuera de alcance .

Fórmula WELMEC

En todas las oficinas de normalización alemanas, la aceleración de caída libre  g se calcula en relación con la latitud media φ y la altura media sobre el nivel del mar  h con la fórmula WELMEC :

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

La fórmula se basa en la fórmula de gravedad internacional de 1967.

La magnitud de la aceleración de caída libre en un lugar determinado debe determinarse midiendo con precisión varias magnitudes mecánicas. Las básculas cuya masa se mide por el peso dependen de la aceleración de caída libre, por lo que para su uso deben estar preparadas con constantes diferentes en diferentes lugares de uso. Mediante el concepto de las llamadas zonas de gravedad, que se dividen con el uso de la gravedad normal, una báscula puede ser calibrada por el fabricante antes de su uso. ^[9]

Ejemplo

Aceleración en caída libre en Schweinfurt :

Datos:

• Latitud: 50° 3′ 24″ = 50.0567°
• Altura sobre el nivel del mar: 229,7 m
• Densidad de las placas de roca: aprox. 2,6 g/ ^cm3
• Aceleración de caída libre medida: g = 9,8100 ± 0,0001 m/s ²

Aceleración de caída libre, calculada mediante fórmulas de gravedad normal:

• Cassini: g  = 9,81038 m/ ^s2
• Jeffreys: g  = 9,81027 m/ ^s2
• Gráfica de la curva: g  = 9,81004 m/ ^s2

Véase también

• Anomalía de gravedad
• Elipsoide de referencia
• EGM96 (Modelo gravitacional de la Tierra 1996)
• Gravedad estándar  : 9,806 65 m/s ²

Referencias

1. Izzo, Dario; Gómez, Pablo (2022-12-28). "Geodesia de cuerpos pequeños irregulares mediante campos de densidad neuronal". Ingeniería de Comunicaciones . 1 (1): 48. arXiv : 2105.13031 . Bibcode :2022CmEng...1...48I. doi : 10.1038/s44172-022-00050-3 . ISSN  2731-3395. PMC  10956048 .
2. Brian L. Stevens; Frank L. Lewis (2003). Control y simulación de aeronaves, 2.ª edición . Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-37145-8.
3. de Icaza-Herrera, M.; Castano, VM (2011). "Lagrangiano generalizado del péndulo de Foucault paramétrico con fuerzas disipativas". Acta Mech . 218 (1–2): 45–64. doi :10.1007/s00707-010-0392-8.
4. Richard B. Noll; Michael B. McElroy (1974), "Modelos de la atmósfera de Marte [1974]", Criterios de diseño de vehículos espaciales (medio ambiente) , Greenbelt, Maryland: Centro de vuelo espacial Goddard de la NASA, Bibcode :1974svdc.rept......, SP-8010.
5. William J. Hinze; Ralph RB von Frese ; Afif H. Saad (2013). Exploración magnética y de la gravedad: principios, prácticas y aplicaciones . Cambridge University Press . pág. 130. ISBN. 978-1-107-32819-8.
6. Biografía de Somiglianas Archivado el 7 de diciembre de 2010 en Wayback Machine .
7. Departamento de Defensa, Sistema geodésico mundial 1984: su definición y relaciones con los sistemas geodésicos locales, NIMA TR8350.2, 3.ª ed., Tbl. 3.4, Ec. 4-1
8. Xiong Li; Hans-Jürgen Götzez. "Tutorial: elipsoide, geoide, gravedad, geodesia y geofísica" (PDF) . Consultado el 29 de marzo de 2024 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)988 kB
9. Roman Schwartz, Andreas Lindau. "Das europäische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC" (PDF) (en alemán) . Consultado el 26 de febrero de 2011 .700 kB

Lectura adicional

• Karl Ledersteger : Astronomische und physikalische Geodäsie . Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. Metzler, Stuttgart 1969
• B.Hofmann-Wellenhof, Helmut Moritz : Geodesia física , ISBN 3-211-23584-1 , Springer-Verlag Wien 2006. 
• Wolfgang Torge: Geodasie . 2. Auflaje. Walter de Gruyter, Berlín ua 2003. ISBN 3-11-017545-2 
• Wolfgang Torge: Geodasie . Walter de Gruyter, Berlín ua 1975 ISBN 3-11-004394-7 

Enlaces externos

• Definición del Sistema de Referencia Geodésico 1980 (GRS80) (pdf, inglés; 70 kB)
• Sistema de información gravitacional der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt , engl.
• Online-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln