En matemáticas , la exponencial de Carlitz es una característica p análoga a la función exponencial habitual estudiada en análisis reales y complejos . Se utiliza en la definición del módulo Carlitz , un ejemplo de módulo Drinfeld .
Trabajamos sobre el anillo polinómico F q [ T ] de una variable sobre un cuerpo finito F q con q elementos. Será útil completar C ∞ de una clausura algebraica del campo F q (( T −1 )) de la serie formal de Laurent en T −1 . Es un campo completo y algebraicamente cerrado.
Primero necesitamos análogos a los factoriales , que aparecen en la definición de la función exponencial habitual. Para i > 0 definimos
y D 0 := 1. Tenga en cuenta que el factorial habitual es inapropiado aquí, ya que n ! desaparece en F q [ T ] a menos que n sea menor que la característica de F q [ T ].
Usando esto definimos la exponencial de Carlitz e C : C ∞ → C ∞ por la suma convergente
La exponencial de Carlitz satisface la ecuación funcional.
donde podemos verlo como la potencia de map o como un elemento del anillo de polinomios no conmutativos . Por la propiedad universal de los anillos polinomiales en una variable, esto se extiende a un homomorfismo de anillo ψ : F q [ T ] → C ∞ { τ }, definiendo un módulo Drinfeld F q [ T ] sobre C ∞ { τ }. Se llama módulo de Carlitz.
![{\displaystyle [i]:=T^{q^{i}}-T,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf9149c14138365b030f55d2b4f8e3edc39b458)
![{\displaystyle D_{i}:=\prod _{1\leq j\leq i}[j]^{q^{ij}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967e398d254e8f7c6264b1925faf4f3d6de865f4)
