Expansiones de Taylor para los momentos de funciones de variables aleatorias.

En teoría de la probabilidad , es posible aproximar los momentos de una función f de una variable aleatoria X usando expansiones de Taylor , siempre que f sea suficientemente diferenciable y que los momentos de X sean finitos.

Primer momento

Dado y , la media y la varianza de , respectivamente, ^[1] se puede encontrar una expansión de Taylor del valor esperado de mediante ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[f(X)\right]&{}=\operatorname {E} \left[f\left(\mu _{X}+\left(X-\mu _{X}\right)\right)\right]\\&{}\approx \operatorname {E} \left[f(\mu _{X})+f'(\mu _{X})\left(X-\mu _{X}\right)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})\left(X-\mu _{X}\right)^{2}\right]\\&{}=f(\mu _{X})+f'(\mu _{X})\operatorname {E} \left[X-\mu _{X}\right]+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})\operatorname {E} \left[\left(X-\mu _{X}\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$

Desde que el segundo mandato desaparece. También es . Por lo tanto, ${\displaystyle E[X-\mu _{X}]=0,}$ ${\displaystyle E[(X-\mu _{X})^{2}]}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]\approx f(\mu _{X})+{\frac {f''(\mu _{X})}{2}}\sigma _{X}^{2}}$.

Es posible generalizar esto a funciones de más de una variable usando expansiones de Taylor multivariadas . Por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X}{Y}}\right]\approx {\frac {\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]}}-{\frac {\operatorname {cov} \left[X,Y\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{2}}}+{\frac {\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{3}}}\operatorname {var} \left[Y\right]}$

Segundo momento

De manera similar, ^[1]

${\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {var} \left[X\right]=\left(f'(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{2}-{\frac {1}{4}}\left(f''(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{4}}$

Lo anterior se obtiene mediante una aproximación de segundo orden, siguiendo el método utilizado en la estimación del primer momento. Será una mala aproximación en los casos en que sea altamente no lineal. Este es un caso especial del método delta . ${\displaystyle f(X)}$

De hecho, tomamos . ${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]\approx f(\mu _{X})+{\frac {f''(\mu _{X})}{2}}\sigma _{X}^{2}}$

Con , obtenemos . Luego, la varianza se calcula usando la fórmula . ${\displaystyle f(X)=g(X)^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left[Y^{2}\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {var} \left[Y\right]=\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\mu _{Y}^{2}}$

Un ejemplo es,

${\displaystyle \operatorname {var} \left[{\frac {X}{Y}}\right]\approx {\frac {\operatorname {var} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{2}}}-{\frac {2\operatorname {E} \left[X\right]}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{3}}}\operatorname {cov} \left[X,Y\right]+{\frac {\operatorname {E} \left[X\right]^{2}}{\operatorname {E} \left[Y\right]^{4}}}\operatorname {var} \left[Y\right].}$

La aproximación de segundo orden, cuando X sigue una distribución normal, es: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {var} \left[X\right]+{\frac {\left(f''(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}}{2}}\left(\operatorname {var} \left[X\right]\right)^{2}=\left(f'(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{2}+{\frac {1}{2}}\left(f''(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{4}+\left(f'(\mu _{X})\right)\left(f'''(\mu _{X})\right)\sigma _{X}^{4}}$

Primer momento del producto

Para encontrar una aproximación de segundo orden para la covarianza de funciones de dos variables aleatorias (con la misma función aplicada a ambas), se puede proceder de la siguiente manera. Primero, tenga en cuenta que . Dado que anteriormente ya se derivó una expansión de segundo orden para , solo queda encontrar . Si se considera una función de dos variables, la expansión de Taylor de segundo orden es la siguiente: ${\displaystyle \operatorname {cov} \left[f(X),f(Y)\right]=\operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]-\operatorname {E} \left[f(X)\right]\operatorname {E} \left[f(Y)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]}$ ${\displaystyle f(X)f(Y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X)f(Y)&{}\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+(X-\mu _{X})f'(\mu _{X})f(\mu _{Y})+(Y-\mu _{Y})f(\mu _{X})f'(\mu _{Y})+{\frac {1}{2}}\left[(X-\mu _{X})^{2}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})+2(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})+(Y-\mu _{Y})^{2}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\right]\end{aligned}}}$

Tomar en cuenta lo anterior y simplificarlo (haciendo uso de las identidades y ) conduce a . Por eso, ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\operatorname {var} (X)+\left[\operatorname {E} (X)\right]^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {cov} (X,Y)+\left[\operatorname {E} (X)\right]\left[\operatorname {E} (Y)\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})\operatorname {cov} (X,Y)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{2}}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (Y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} \left[f(X),f(Y)\right]&{}\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})\operatorname {cov} (X,Y)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{2}}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (Y)-\left[f(\mu _{X})+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})\operatorname {var} (X)\right]\left[f(\mu _{Y})+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (Y)\right]\\&{}=f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})\operatorname {cov} (X,Y)-{\frac {1}{4}}f''(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (X)\operatorname {var} (Y)\end{aligned}}}$

Vectores aleatorios

Si X es un vector aleatorio, las aproximaciones para la media y la varianza de están dadas por ^[3] ${\displaystyle f(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (f(X))&=f(\mu _{X})+{\frac {1}{2}}\operatorname {trace} (H_{f}(\mu _{X})\Sigma _{X})\\\operatorname {var} (f(X))&=\nabla f(\mu _{X})^{t}\Sigma _{X}\nabla f(\mu _{X})+{\frac {1}{2}}\operatorname {trace} \left(H_{f}(\mu _{X})\Sigma _{X}H_{f}(\mu _{X})\Sigma _{X}\right).\end{aligned}}}$

Aquí y denotamos el gradiente y la matriz de Hesse respectivamente, y es la matriz de covarianza de X. ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle \Sigma _{X}}$

Ver también

• Propagación de la incertidumbre
• aproximación WKB
• método delta

Notas

1. Haym Benaroya, Seon Mi Han y Mark Nagurka. Modelos de probabilidad en ingeniería y ciencia . Prensa CRC, 2005, p166.
2. Hendeby, Gustaf; Gustafsson, Fredrik. «SOBRE TRANSFORMACIONES NO LINEALES DE DISTRIBUCIONES GAUSSIANAS» (PDF) . Consultado el 5 de octubre de 2017 .
3. Rego, Bruno V.; Weiss, Dar; Bersi, Mateo R.; Humphrey, Jay D. (14 de diciembre de 2021). "Cuantificación de la incertidumbre en la estimación específica de un sujeto de las propiedades mecánicas de los vasos locales". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería biomédica . 37 (12): e3535. doi :10.1002/cnm.3535. ISSN  2040-7939. PMC 9019846 . PMID  34605615. 

Otras lecturas

• Wolter, Kirk M. (1985). "Métodos de la serie Taylor". Introducción a la estimación de la varianza . Nueva York: Springer. págs. 221–247. ISBN 0-387-96119-4.