Representación adaptativa de Gabor

La representación Gabor adaptativa ( AGR ) es una representación Gabor de una señal en la que su varianza es ajustable. Siempre existe un equilibrio entre la resolución temporal y la resolución de frecuencia en la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) tradicional. Una ventana larga conduce a una resolución de frecuencia alta y una resolución temporal baja. Por otro lado, la resolución temporal alta requiere una ventana más corta, con el costo de una resolución de frecuencia baja. Al elegir la función elemental adecuada para la señal con una estructura espectral diferente, la representación Gabor adaptativa puede adaptarse tanto a señales de banda estrecha como de banda ancha.

Expansión de Gabor

En 1946, Dennis Gabor sugirió que una señal puede representarse en dos dimensiones, con coordenadas de tiempo y frecuencia, y que la señal puede expandirse a un conjunto discreto de señales elementales gaussianas.

Definición

La expansión de Gabor de la señal s(t) se define mediante esta fórmula:

${\displaystyle s(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{m,n}h(t-mT)e^{jnt\Omega }}$

donde h ( t ) es la función elemental gaussiana:

${\displaystyle h(t)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\left(-{\frac {\alpha }{2}}t^{2}\right)}}$

Una vez determinada la función elemental de Gabor, los coeficientes de Gabor se pueden obtener mediante el producto interno de s(t) y una función dual ${\displaystyle C_{m,n}}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

${\displaystyle C_{m,n}=\int s(t)\gamma ^{*}(t-mT)e^{-jnt\Omega }\,dt.}$

${\displaystyle T}$y denotan los pasos de muestreo de tiempo y frecuencia y satisfacen los criterios ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle T\Omega \leqq 2\pi \,}$

Relación entre la representación de Gabor y la transformada de Gabor

La transformada de Gabor simplemente calcula los coeficientes de Gabor para la señal s(t). ${\displaystyle C_{m,n}}$

Expansión adaptativa

La expansión de señal adaptativa se define como

${\displaystyle s\left(t\right)=\sum _{p}B_{p}h_{p}(t)}$

donde los coeficientes se obtienen mediante el producto interno de la señal s(t) y la función elemental ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle B_{p}=\left\langle s,h_{p}\right\rangle \,}$

Los coeficientes representan la similitud entre la señal y la función elemental. La descomposición adaptativa de la señal es una operación iterativa, cuyo objetivo es encontrar un conjunto de funciones elementales que sea más similar a la estructura de tiempo-frecuencia de la señal. Primero, comience con w = 0 y . Luego, encuentre cuál tiene el producto interno máximo con la señal y ${\displaystyle B_{p}}$
${\displaystyle \left\{h_{p}(t)\right\}}$
${\displaystyle s_{0}\left(t\right)=s\left(t\right)}$ ${\displaystyle h_{0}\left(t\right)}$ ${\displaystyle s_{0}\left(t\right)}$

${\displaystyle \left|B_{p}\right|^{2}=\max _{h}\left|\left\langle s_{p}(t),h_{p}(t)\right\rangle \right|^{2}}$

En segundo lugar, calcula el residuo:

${\displaystyle s_{1}\left(t\right)=s_{0}\left(t\right)-B_{0}h_{0}\left(t\right),}$

y así sucesivamente. Se obtendrá un conjunto de residuos ( ), proyecciones ( ) y funciones elementales ( ) para cada p diferente. La energía del residuo se desvanecerá si continuamos haciendo la descomposición. ${\displaystyle s_{p}\left(t\right)}$ ${\displaystyle B_{p}=\left\langle s_{p}(t),h_{p}(t)\right\rangle }$ ${\displaystyle h_{p}\left(t\right)}$

Ecuación de conservación de energía

Si la ecuación elemental ( ) está diseñada para tener una energía unitaria, entonces la energía contenida en el residuo en la etapa pth puede determinarse mediante el residuo en la etapa p+1th más ( ). Es decir, ${\displaystyle h_{p}\left(t\right)}$ ${\displaystyle B_{p}}$

${\displaystyle \left\|s_{p}(t)\right\|^{2}=\left\|s_{p+1}(t)\right\|^{2}+\left|B_{p}\right|^{2},}$

${\displaystyle \left\|s(t)\right\|^{2}=\sum _{p=o}^{\infty }\left|B_{p}\right|^{2},}$

similar al teorema de Parseval en el análisis de Fourier.

La selección de la función elemental es la tarea principal en la descomposición adaptativa de señales. Es natural elegir una función de tipo gaussiano para lograr el límite inferior de la desigualdad:

${\displaystyle h_{p}(t)=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {\alpha }{2}}(t-T_{p})^{2}}e^{jt\Omega _{p}},}$

donde es la media y es la varianza de Gauss en . Y ${\displaystyle \left(T_{p},\Omega _{p}\right)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}^{-1}}$ ${\displaystyle \left(T_{p},\Omega _{p}\right)}$

${\displaystyle s\left(t\right)=\sum _{p}B_{p}h_{p}(t)=\sum _{p}B_{p}\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {\alpha }{2}}(t-T_{p})^{2}}e^{jt\Omega _{p}}}$

Se llama representación adaptativa de Gabor.

Al cambiar el valor de la varianza, se modificará la duración de la función elemental (tamaño de la ventana) y el centro de la función elemental ya no será fijo. Al ajustar el punto central y la varianza de la función elemental, podemos hacer coincidir la característica de tiempo-frecuencia local de la señal. El mejor rendimiento de la adaptación se logra a costa del proceso de coincidencia. El equilibrio entre diferentes longitudes de ventana se convierte ahora en el equilibrio entre el tiempo de cálculo y el rendimiento.

Véase también

• Transformación de Gabor
• Transformada de Fourier de corta duración

Referencias

• MJ Bastiaans, "Expansión de una señal en señales elementales gaussianas según Gabor", Proceedings of the IEEE, vol. 68, número 4, págs. 538-539, abril de 1980
• Shie Qian y Dapang Chen, "Representación de señales mediante funciones gaussianas normalizadas adaptativas", Signal Processing , vol. 42, n.º 3, págs. 687-694, marzo de 1994
• Qinye Yin, Shie Qian y Aigang Feng, "Un refinamiento rápido para la descomposición gaussiana adaptativa de Chirplet", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, n.º 6, págs. 1298-1306, junio de 2002
• Shie Qian, Introducción a las transformadas de tiempo-frecuencia y wavelet , Prentice Hall, 2002