Establecer estimación

Problema en estadística

En estadística , un vector aleatorio x se representa clásicamente mediante una función de densidad de probabilidad . En un enfoque de pertenencia a conjuntos o estimación de conjuntos , x está representado por un conjunto X al que se supone que pertenece x . Esto significa que el soporte de la función de distribución de probabilidad de x está incluido dentro de X. Por un lado, representar vectores aleatorios por conjuntos permite proporcionar menos supuestos sobre las variables aleatorias (como la independencia) y es más fácil lidiar con las no linealidades. Por otro lado, una función de distribución de probabilidad proporciona información más precisa que un conjunto que encierra su soporte.

Estimación de membresía del conjunto

La estimación de membresía de conjuntos (o estimación de conjuntos para abreviar) es un enfoque de estimación que considera que las mediciones están representadas por un conjunto Y (la mayoría de las veces un cuadro de R ^m , donde m es el número de mediciones) del espacio de medición. Si p es el vector de parámetros y f es la función del modelo, entonces el conjunto de todos los vectores de parámetros factibles es

${\displaystyle P=P_{0}\cap f^{-1}(Y)}$,

donde P ₀ es el conjunto anterior de los parámetros. Caracterizar P corresponde a un problema de inversión de conjuntos . ^[1]

Resolución

Cuando f es lineal, el conjunto factible P puede describirse mediante desigualdades lineales y puede aproximarse utilizando técnicas de programación lineal . ^[2]

Cuando f no es lineal, la resolución se puede realizar mediante análisis de intervalos . El conjunto factible P se aproxima entonces mediante un subpavimento interior y otro exterior . La principal limitación del método es su complejidad exponencial con respecto al número de parámetros. ^[3]

Ejemplo

Considere el siguiente modelo

${\displaystyle \phi (p_{1},p_{2},t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),}$

donde p ₁ y p ₂ son los dos parámetros a estimar.

Figura 1. Datos de error acotado

Supongamos que en los momentos t ₁ = −1, t ₂ = 1, t ₃ = 2, se han recopilado las siguientes mediciones de intervalo:

[ y ₁ ]=[−4,−2],

[ y ₂ ]=[4,9],

[ y ₃ ]=[7,11],

como se ilustra en la Figura 1. El conjunto de medidas correspondiente (aquí un cuadro) es

${\displaystyle Y=[y_{1}]\times [y_{2}]\times [y_{3}]}$.

La función del modelo está definida por

${\displaystyle f(p_{1},p_{2})={\begin{bmatrix}p_{1}^{2}-p_{2}^{2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2})\\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmatrix}}}$

Las componentes de f se obtienen utilizando el modelo para cada medición de tiempo. Después de resolver el problema de inversión de conjuntos, obtenemos la aproximación que se muestra en la Figura 2. Los cuadros rojos están dentro del conjunto factible P y los cuadros azules están fuera de P.

Figura 2 Conjunto factible de parámetros.

Caso recursivo

La estimación de conjuntos se puede utilizar para estimar el estado de un sistema descrito mediante ecuaciones de estado mediante una implementación recursiva. Cuando el sistema es lineal, el conjunto factible correspondiente para el vector de estado puede describirse mediante politopos o elipsoides ^[4] . ^[5] Cuando el sistema es no lineal, el conjunto puede estar encerrado por subpavimentos. ^[6]

Caso robusto

Cuando se producen valores atípicos, el método de estimación de conjuntos generalmente devuelve un conjunto vacío. Esto se debe al hecho de que la intersección entre conjuntos de vectores de parámetros que son consistentes con la i -ésima barra de datos está vacía. Para ser robustos con respecto a los valores atípicos, generalmente caracterizamos el conjunto de vectores de parámetros que son consistentes con todas las barras de datos excepto q de ellas. Esto es posible utilizando la noción de intersección q - relajada .

Ver también

• Establecer identificación

Referencias

1. Jaulín, L.; Walter, E. (1993). "Estimación de parámetros no lineales garantizada mediante cálculos de intervalos" (PDF) . Cálculo de intervalos .
2. Walter, E.; Piet-Lahanier, H. (1989). "Descripción poliédrica recursiva exacta del conjunto de parámetros factibles para modelos de error acotado". Transacciones IEEE sobre control automático . 34 (8): 911–915. doi :10.1109/9.29443.
3. Kreinovich, V.; Lakeyev, AV; Rohn, J.; Kahl, PT (1997). "Complejidad computacional y viabilidad del procesamiento de datos y cálculos de intervalos". Computación confiable . 4 (4).
4. Fogel, E.; Huang, YF (1982). "Sobre el valor de la información en la identificación del sistema: caso de ruido acotado". Automática . 18 (2): 229–238. doi :10.1016/0005-1098(82)90110-8.
5. Schweppe, FC (1968). "Estimación de estado recursivo: entradas del sistema y errores desconocidos pero limitados". Transacciones IEEE sobre control automático . 13 (1): 22–28. doi :10.1109/tac.1968.1098790.
6. Kieffer, M.; Jaulín, L.; Walter, E. (1998). "Estimación de estado no lineal recursiva garantizada mediante análisis de intervalo" (PDF) . Actas de la 37ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control . 4 .