Estimación de conjunto

Problema en estadística

En estadística , un vector aleatorio x se representa clásicamente mediante una función de densidad de probabilidad . En un enfoque de pertenencia a conjuntos o estimación de conjuntos , x se representa mediante un conjunto X al que se supone que x pertenece. Esto significa que el soporte de la función de distribución de probabilidad de x está incluido dentro de X. Por un lado, representar vectores aleatorios mediante conjuntos permite proporcionar menos suposiciones sobre las variables aleatorias (como la independencia) y es más fácil lidiar con las no linealidades. Por otro lado, una función de distribución de probabilidad proporciona una información más precisa que un conjunto que encierra su soporte.

Estimación de pertenencia a un conjunto

La estimación de pertenencia a un conjunto (o estimación de conjunto para abreviar) es un enfoque de estimación que considera que las mediciones están representadas por un conjunto Y (la mayoría de las veces una caja de R ^m , donde m es el número de mediciones) del espacio de medición. Si p es el vector de parámetros y f es la función del modelo, entonces el conjunto de todos los vectores de parámetros factibles es

${\displaystyle P=P_{0}\cap f^{-1}(Y)}$,

donde P ₀ es el conjunto anterior de los parámetros. La caracterización de P corresponde a un problema de inversión de conjuntos . ^[1]

Resolución

Cuando f es lineal, el conjunto factible P puede describirse mediante desigualdades lineales y puede aproximarse utilizando técnicas de programación lineal . ^[2]

Cuando f no es lineal, la resolución se puede realizar mediante análisis de intervalos . El conjunto factible P se aproxima entonces mediante un subpavimento interno y uno externo . La principal limitación del método es su complejidad exponencial con respecto al número de parámetros. ^[3]

Ejemplo

Consideremos el siguiente modelo

${\displaystyle \phi (p_{1},p_{2},t)=(tp_{1})^{2}+tp_{2}^{2}+\sin(p_{1}+tp_{2}),}$

donde p ₁ y p ₂ son los dos parámetros a estimar.

Figura 1. Datos con error acotado

Supongamos que en los momentos t ₁ = −1, t ₂ = 1, t ₃ = 2, se han recopilado las siguientes mediciones de intervalo:

[ y ₁ ]=[−4,−2],

[ y ₂ ]=[4,9],

[ y ₃ ]=[7,11],

como se ilustra en la Figura 1. El conjunto de medición correspondiente (aquí un cuadro) es

${\displaystyle Y=[y_{1}]\times [y_{2}]\times [y_{3}]}$.

La función del modelo está definida por

${\displaystyle f(p_{1},p_{2})={\begin{bmatrix}p_{1}^{2}-p_{2}^{2}+\sin(p_{1}-p_{2})\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+p_{2})\\(2p_{1})^{2}+2p_{2}^{2}+\sin(p_{1}+2p_{2})\end{bmatrix}}}$

Los componentes de f se obtienen utilizando el modelo para cada medición de tiempo. Después de resolver el problema de inversión de conjuntos, obtenemos la aproximación que se muestra en la Figura 2. Los cuadros rojos están dentro del conjunto factible P y los cuadros azules están fuera de P.

Figura 2 Conjunto factible para los parámetros

Caso recursivo

La estimación de conjuntos se puede utilizar para estimar el estado de un sistema descrito por ecuaciones de estado utilizando una implementación recursiva. Cuando el sistema es lineal, el conjunto factible correspondiente para el vector de estado se puede describir mediante politopos o elipsoides ^[4] . ^[5] Cuando el sistema no es lineal, el conjunto se puede encerrar mediante subpavimentos. ^[6]

Caja robusta

Cuando se producen valores atípicos, el método de estimación de conjuntos generalmente devuelve un conjunto vacío. Esto se debe al hecho de que la intersección entre los conjuntos de vectores de parámetros que son consistentes con la i -ésima barra de datos está vacía. Para ser robustos con respecto a los valores atípicos, generalmente caracterizamos el conjunto de vectores de parámetros que son consistentes con todas las barras de datos excepto q de ellas. Esto es posible utilizando el concepto de q - intersección relajada .

Véase también

• Identificación del conjunto

Referencias

1. Jaulin, L.; Walter, E. (1993). "Estimación de parámetros no lineales garantizada mediante cálculos de intervalos" (PDF) . Cálculo de intervalos .
2. Walter, E.; Piet-Lahanier, H. (1989). "Descripción poliédrica recursiva exacta del conjunto de parámetros factibles para modelos de error acotado". IEEE Transactions on Automatic Control . 34 (8): 911–915. doi :10.1109/9.29443.
3. Kreinovich, V.; Lakeyev, AV; Rohn, J.; Kahl, PT (1997). "Complejidad computacional y viabilidad del procesamiento de datos y cálculos de intervalos". Computación confiable . 4 (4).
4. Fogel, E.; Huang, YF (1982). "Sobre el valor de la información en la identificación de sistemas: caso de ruido acotado". Automatica . 18 (2): 229–238. doi :10.1016/0005-1098(82)90110-8.
5. Schweppe, FC (1968). "Estimación recursiva de estados: errores desconocidos pero limitados y entradas del sistema". IEEE Transactions on Automatic Control . 13 (1): 22–28. doi :10.1109/tac.1968.1098790.
6. Kieffer, M.; Jaulin, L.; Walter, E. (1998). "Estimación de estado no lineal recursiva garantizada mediante análisis de intervalos" (PDF) . Actas de la 37.ª Conferencia IEEE sobre decisiones y control . 4 .