Estados cuánticos de redes neuronales

Los estados cuánticos de redes neuronales ( NQS o NNQS ) son una clase general de estados cuánticos variacionales parametrizados en términos de una red neuronal artificial . Fue introducido por primera vez en 2017 por los físicos Giuseppe Carleo y Matthias Troyer ^[1] para aproximar las funciones de onda de sistemas cuánticos de muchos cuerpos .

Dado un estado cuántico de muchos cuerpos que comprende grados de libertad y una selección de números cuánticos asociados , entonces un NQS parametriza las amplitudes de la función de onda. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s_{1}\ldots s_{N}}$

$${\displaystyle \langle s_{1}\ldots s_{N}|\Psi ;W\rangle =F(s_{1}\ldots s_{N};W),}$$

donde es una red neuronal artificial de parámetros (pesos) , variables de entrada ( ) y una salida de valor complejo correspondiente a la amplitud de la función de onda. ${\displaystyle F(s_{1}\ldots s_{N};W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s_{1}\ldots s_{N}}$

Esta forma variacional se utiliza junto con enfoques específicos de aprendizaje estocástico para aproximar estados cuánticos de interés.

Aprender la función de onda del estado fundamental

Una aplicación común de NQS es encontrar una representación aproximada de la función de onda del estado fundamental de un hamiltoniano determinado . El procedimiento de aprendizaje en este caso consiste en encontrar los mejores pesos de la red neuronal que minimicen la energía variacional. ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle E(W)=\langle \Psi ;W|{\hat {H}}|\Psi ;W\rangle .}$$

Dado que, para una red neuronal artificial general, calcular el valor esperado es una operación exponencialmente costosa en , se utilizan técnicas estocásticas basadas, por ejemplo, en el método de Monte Carlo para estimar , de manera análoga a lo que se hace en Variational Monte Carlo , ver por ejemplo ^[2] para una revisión. Más específicamente, se genera un conjunto de muestras , con , de manera que estén distribuidas uniformemente según la densidad de probabilidad de Born . Entonces se puede demostrar que la media muestral de la llamada "energía local" es una estimación estadística del valor esperado cuántico , es decir ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E(W)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{(1)},S^{(2)}\ldots S^{(M)}}$ ${\displaystyle S^{(i)}=s_{1}^{(i)}\ldots s_{N}^{(i)}}$ ${\displaystyle P(S)\propto |F(s_{1}\ldots s_{N};W)|^{2}}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {loc} }(S)=\langle S|{\hat {H}}|\Psi \rangle /\langle S|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle E(W)}$

$${\displaystyle E(W)\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)}).}$$

De manera similar, se puede demostrar que el gradiente de energía con respecto a los pesos de la red también se aproxima mediante una media muestral. ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle {\frac {\partial E(W)}{\partial W_{k}}}\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}(E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)})-E(W))O_{k}^{\star }(S^{(i)}),}$$

donde y se puede calcular de manera eficiente, en redes profundas mediante retropropagación . ${\displaystyle O(S^{(i)})={\frac {\partial \log F(S^{(i)};W)}{\partial W_{k}}}}$

Luego se utiliza la aproximación estocástica de los gradientes para minimizar la energía, normalmente utilizando un enfoque de descenso de gradiente estocástico . Cuando los parámetros de la red neuronal se actualizan en cada paso del procedimiento de aprendizaje, se genera un nuevo conjunto de muestras, en un procedimiento iterativo similar al que se realiza en el aprendizaje no supervisado . ${\displaystyle E(W)}$ ${\displaystyle S^{(i)}}$

Conexión con Redes Tensoriales

Las representaciones de redes neuronales de funciones de ondas cuánticas comparten algunas similitudes con los estados cuánticos variacionales basados ​​en redes tensoriales. Por ejemplo, se han establecido conexiones con estados de productos matriciales . ^[3] Estos estudios han demostrado que NQS admite el escalamiento de la ley de volumen para la entropía del entrelazamiento . En general, dado un NQS con pesos totalmente conectados, corresponde, en el peor de los casos, a un estado de producto matricial de dimensión de enlace exponencialmente grande en . ${\displaystyle N}$

Ver también

• Programación diferenciable

Referencias

1. Carleo, Giuseppe; Troyer, Matías (2017). "Resolver el problema cuántico de muchos cuerpos con redes neuronales artificiales". Ciencia . 355 (6325): 602–606. arXiv : 1606.02318 . Código Bib : 2017 Ciencia... 355..602C. doi : 10.1126/ciencia.aag2302. PMID  28183973. S2CID  206651104.
2. Beca, Federico; Sorella, Sandro (2017). Enfoques cuánticos de Monte Carlo para sistemas correlacionados . Prensa de la Universidad de Cambridge. Código Bib : 2017qmca.book.....B. doi :10.1017/9781316417041. ISBN 9781316417041.
3. Chen, Jing; Cheng, canción; Xie, Haidong; Wang, Lei; Xiang, Tao (2018). "Equivalencia de máquinas Boltzmann restringidas y estados de redes tensoriales". Física. Rev. B. 97 (8): 085104. arXiv : 1701.04831 . Código Bib : 2018PhRvB..97h5104C. doi : 10.1103/PhysRevB.97.085104. S2CID  73659611.