Estados cuánticos de redes neuronales

Los estados cuánticos de redes neuronales ( NQS o NNQS ) son una clase general de estados cuánticos variacionales parametrizados en términos de una red neuronal artificial . Fue introducido por primera vez en 2017 por los físicos Giuseppe Carleo y Matthias Troyer ^[1] para aproximar las funciones de onda de los sistemas cuánticos de muchos cuerpos .

Dado un estado cuántico de muchos cuerpos que comprende grados de libertad y una elección de números cuánticos asociados , entonces un NQS parametriza las amplitudes de la función de onda ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s_{1}\ldots s_{N}}$

$${\displaystyle \langle s_{1}\ldots s_{N}|\Psi ;W\rangle =F(s_{1}\ldots s_{N};W),}$$

donde es una red neuronal artificial de parámetros (pesos) , variables de entrada ( ) y una salida de valor complejo correspondiente a la amplitud de la función de onda. ${\displaystyle F(s_{1}\ldots s_{N};W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s_{1}\ldots s_{N}}$

Esta forma variacional se utiliza junto con enfoques de aprendizaje estocástico específicos para aproximarse a estados cuánticos de interés.

Aprendiendo la función de onda del estado fundamental

Una aplicación común de NQS es encontrar una representación aproximada de la función de onda del estado fundamental de un hamiltoniano dado . El procedimiento de aprendizaje en este caso consiste en encontrar los mejores pesos de la red neuronal que minimicen la energía variacional. ${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle E(W)=\langle \Psi ;W|{\hat {H}}|\Psi ;W\rangle .}$$

Dado que, para una red neuronal artificial general, calcular el valor esperado es una operación exponencialmente costosa en , se utilizan técnicas estocásticas basadas, por ejemplo, en el método de Monte Carlo para estimar , de manera análoga a lo que se hace en Monte Carlo variacional , véase por ejemplo ^[2] para una revisión. Más específicamente, se genera un conjunto de muestras , con , de manera que se distribuyan uniformemente de acuerdo con la densidad de probabilidad de Born . Luego se puede demostrar que la media muestral de la denominada "energía local" es una estimación estadística del valor esperado cuántico , es decir ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E(W)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{(1)},S^{(2)}\ldots S^{(M)}}$ ${\displaystyle S^{(i)}=s_{1}^{(i)}\ldots s_{N}^{(i)}}$ ${\displaystyle P(S)\propto |F(s_{1}\ldots s_{N};W)|^{2}}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {loc} }(S)=\langle S|{\hat {H}}|\Psi \rangle /\langle S|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle E(W)}$

$${\displaystyle E(W)\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)}).}$$

De manera similar, se puede demostrar que el gradiente de la energía con respecto a los pesos de la red también se aproxima mediante una media de muestra. ${\displaystyle W}$

$${\displaystyle {\frac {\partial E(W)}{\partial W_{k}}}\simeq {\frac {1}{M}}\sum _{i}^{M}(E_{\mathrm {loc} }(S^{(i)})-E(W))O_{k}^{\star }(S^{(i)}),}$$

donde y se pueden calcular de manera eficiente, en redes profundas a través de retropropagación . ${\displaystyle O(S^{(i)})={\frac {\partial \log F(S^{(i)};W)}{\partial W_{k}}}}$

La aproximación estocástica de los gradientes se utiliza luego para minimizar la energía, generalmente utilizando un enfoque de descenso de gradiente estocástico . Cuando los parámetros de la red neuronal se actualizan en cada paso del procedimiento de aprendizaje, se genera un nuevo conjunto de muestras, en un procedimiento iterativo similar al que se realiza en el aprendizaje no supervisado . ${\displaystyle E(W)}$ ${\displaystyle S^{(i)}}$

Conexión con redes tensoriales

Las representaciones de funciones de onda cuánticas mediante redes neuronales comparten algunas similitudes con los estados cuánticos variacionales basados ​​en redes tensoriales. Por ejemplo, se han establecido conexiones con estados de producto de matriz . ^[3] Estos estudios han demostrado que las NQS admiten el escalamiento de la ley de volumen para la entropía del entrelazamiento . En general, dado un NQS con pesos completamente conectados, corresponde, en el peor de los casos, a un estado de producto de matriz de dimensión de enlace exponencialmente grande en . ${\displaystyle N}$

Véase también

• Programación diferenciable

Referencias

1. Carleo, Giuseppe; Troyer, Matthias (2017). "Resolución del problema cuántico de muchos cuerpos con redes neuronales artificiales". Science . 355 (6325): 602–606. arXiv : 1606.02318 . Bibcode :2017Sci...355..602C. doi :10.1126/science.aag2302. PMID  28183973. S2CID  206651104.
2. Becca, Federico; Sorella, Sandro (2017). Enfoques cuánticos de Monte Carlo para sistemas correlacionados . Cambridge University Press. Bibcode :2017qmca.book.....B. doi :10.1017/9781316417041. ISBN 9781316417041.
3. Chen, Jing; Cheng, Song; Xie, Haidong; Wang, Lei; Xiang, Tao (2018). "Equivalencia de máquinas de Boltzmann restringidas y estados de redes tensoriales". Phys. Rev. B . 97 (8): 085104. arXiv : 1701.04831 . Código Bibliográfico :2018PhRvB..97h5104C. doi :10.1103/PhysRevB.97.085104. S2CID  73659611.