Estadística V

Estadísticas que llevan el nombre de Richard von Mises

Las estadísticas V son una clase de estadísticas que llevan el nombre de Richard von Mises , quien desarrolló su teoría de distribución asintótica en un artículo fundamental en 1947. ^[1] Las estadísticas V están estrechamente relacionadas con las estadísticas U ^{[2] [3]} (U por " imparcial ") introducidas por Wassily Hoeffding en 1948. ^[4] Una estadística V es una función estadística (de una muestra) definida por un funcional estadístico particular de una distribución de probabilidad.

Funciones estadísticas

Las estadísticas que pueden representarse como funcionales de la función de distribución empírica se denominan funcionales estadísticos . ^[5] La diferenciabilidad del funcional T juega un papel clave en el enfoque de von Mises; por ello, von Mises considera funcionales estadísticos diferenciables . ^[1] ${\displaystyle T(F_{n})}$ ${\displaystyle (F_{n})}$

Ejemplos de funciones estadísticas

1. El k -ésimo momento central es el funcional , donde es el valor esperado de X . La función estadística asociada es el k -ésimo momento central de la muestra, ${\displaystyle T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)}$ ${\displaystyle \mu =E[X]}$

   ${\displaystyle T_{n}=m_{k}=T(F_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{k}.}$

2. La estadística de bondad de ajuste de chi-cuadrado es una función estadística T ( F _n ), correspondiente a la función estadística

   ${\displaystyle T(F)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(\int _{A_{i}}\,dF-p_{i})^{2}}{p_{i}}},}$

   donde A _i son las k celdas y p _i son las probabilidades especificadas de las celdas bajo la hipótesis nula.
3. Las estadísticas de bondad de ajuste de Cramér-von-Mises y Anderson-Darling se basan en la función

   ${\displaystyle T(F)=\int (F(x)-F_{0}(x))^{2}\,w(x;F_{0})\,dF_{0}(x),}$

   donde w ( x ;  F ₀ ) es una función de peso especificada y F ₀ es una distribución nula especificada. Si w es la función identidad, entonces T ( F _n ) es la conocida estadística de bondad de ajuste de Cramér–von-Mises ; si entonces T ( F _n ) es la estadística de Anderson–Darling . ${\displaystyle w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}}$

Representación como estadística V

Supongamos que x ₁ , ..., x _n es una muestra. En aplicaciones típicas, la función estadística tiene una representación como estadística V

${\displaystyle V_{mn}={\frac {1}{n^{m}}}\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots ,x_{i_{m}}),}$

donde h es una función kernel simétrica. Serfling ^[6] analiza cómo encontrar el kernel en la práctica. V _mn se denomina V-estadístico de grado  m .

Un núcleo simétrico de grado 2 es una función h ( x ,  y ), tal que h ( x , y ) = h ( y , x ) para todos los x e y en el dominio de h. Para las muestras x ₁ , ..., x _n , se define el estadístico V correspondiente

${\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}h(x_{i},x_{j}).}$

Ejemplo de una estadística V

4. Un ejemplo de un estadístico V de grado 2 es el segundo momento central m ₂ . Si h ( x , y ) = ( x − y ) ² /2, el estadístico V correspondiente es

   ${\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2},}$

   que es el estimador de máxima verosimilitud de la varianza . Con el mismo núcleo, la estadística U correspondiente es la varianza de la muestra (imparcial):

   ${\displaystyle s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$.

Distribución asintótica

En los ejemplos 1 a 3, la distribución asintótica del estadístico es diferente: en (1) es normal , en (2) es chi-cuadrado y en (3) es una suma ponderada de variables chi-cuadrado.

El enfoque de von Mises es una teoría unificadora que cubre todos los casos anteriores. ^[1] De manera informal, el tipo de distribución asintótica de una función estadística depende del orden de "degeneración", que está determinado por qué término es el primer término no nulo en la expansión de Taylor de la función  T . En caso de que sea el término lineal, la distribución límite es normal; de lo contrario, surgen tipos de distribuciones de orden superior (en condiciones adecuadas tales que se cumpla un teorema de límite central).

Existe una jerarquía de casos paralela a la teoría asintótica de la estadística U. ^[7] Sea A ( m ) la propiedad definida por:

Soy ) :​

1. Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) = 0 para k < m , y Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) > 0 para k = m ;
2. n ^{m /2} R _mn tiende a cero (en probabilidad). ( R _mn es el término restante en la serie de Taylor para T .)

Caso m = 1 (núcleo no degenerado):

Si A (1) es verdadero, la estadística es una media muestral y el Teorema del Límite Central implica que T(F _n ) es asintóticamente normal .

En el ejemplo de varianza (4), m ₂ es asintóticamente normal con media y varianza , donde . ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle (\mu _{4}-\sigma ^{4})/n}$ ${\displaystyle \mu _{4}=E(X-E(X))^{4}}$

Caso m = 2 (núcleo degenerado):

Supongamos que A (2) es verdadera y y . Entonces nV _2,n converge en distribución a una suma ponderada de variables chi-cuadrado independientes: ${\displaystyle E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,}$ ${\displaystyle E[h(x,X_{1})]\equiv 0}$

${\displaystyle nV_{2,n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}Z_{k}^{2},}$

donde son variables normales estándar independientes y son constantes que dependen de la distribución F y del funcional T . En este caso la distribución asintótica se denomina forma cuadrática de variables aleatorias gaussianas centradas . El estadístico V _{2, n} se denomina estadístico V de núcleo degenerado . El estadístico V asociado con el funcional de Cramer–von Mises ^[1] (Ejemplo 3) es un ejemplo de estadístico V de núcleo degenerado. ^[8] ${\displaystyle Z_{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Véase también

• Estadística U
• Distribución asintótica
• Teoría asintótica (estadística)

Notas

1. de Mises (1947)
2. Lee (1990)
3. Koroljuk y Borovskich (1994)
4. Höffding (1948)
5. von Mises (1947), pág. 309; Serfling (1980), pág. 210.
6. Serfling (1980, Sección 6.5)
7. Serfling (1980, cap. 5-6); Lee (1990, cap. 3)
8. Véase Lee (1990, pág. 160) para la función kernel.

Referencias

• Hoeffding, W. (1948). "Una clase de estadística con distribución asintóticamente normal". Anales de estadística matemática . 19 (3): 293–325. doi : 10.1214/aoms/1177730196 . JSTOR  2235637.
• Koroljuk, VS; Borovskich, Yu.V. (1994). Theory of U -statistics (traducción al inglés de PVMalyshev y DVMalyshev de la edición ucraniana de 1989). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2608-3.
• Lee, AJ (1990).Estadística U : teoría y práctica . Nueva York: Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-8253-4.
• Neuhaus, G. (1977). "Teoremas de límite funcional para estadísticas U en el caso degenerado". Journal of Multivariate Analysis . 7 (3): 424–439. doi : 10.1016/0047-259X(77)90083-5 .
• Rosenblatt, M. (1952). "Teoremas límite asociados con variantes de la estadística de von Mises". Anales de estadística matemática . 23 (4): 617–623. doi : 10.1214/aoms/1177729341 . JSTOR  2236587.
• Serfling, RJ (1980). Teoremas de aproximación de la estadística matemática . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
• Taylor, RL; Daffer, PZ; Patterson, RF (1985). Teoremas de límite para sumas de variables aleatorias intercambiables . Nueva Jersey: Rowman y Allanheld.
• von Mises, R. (1947). "Sobre la distribución asintótica de funciones estadísticas diferenciables". Anales de estadística matemática . 18 (2): 309–348. doi : 10.1214/aoms/1177730385 . JSTOR  2235734.