Espiral de Teodoro

Curva poligonal formada a partir de triángulos rectángulos

La espiral de Teodoro hasta el triángulo con hipotenusa de ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

En geometría , la espiral de Teodoro (también llamada espiral de raíz cuadrada , espiral pitagórica o caracol de Pitágoras ) ^[1] es una espiral compuesta por triángulos rectángulos , colocados borde con borde. Recibe su nombre en honor a Teodoro de Cirene .

Construcción

La espiral comienza con un triángulo rectángulo isósceles , en el que cada cateto tiene una longitud unitaria . Se forma otro triángulo rectángulo (que es el único triángulo rectángulo automediano ), en el que un cateto es la hipotenusa del triángulo rectángulo anterior (cuya longitud es la raíz cuadrada de 2 ) y el otro cateto tiene una longitud de 1; la longitud de la hipotenusa de este segundo triángulo rectángulo es la raíz cuadrada de 3 . A continuación, el proceso se repite; el triángulo n.º de la secuencia es un triángulo rectángulo con longitudes de lado y 1, y con hipotenusa . Por ejemplo, el triángulo n.º 16 tiene lados que miden , 1 e hipotenusa de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}}$ ${\displaystyle 4={\sqrt {16}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

Historia y usos

Aunque se ha perdido toda la obra de Teodoro, Platón incluyó a Teodoro en su diálogo Teeteto , que habla de su obra. Se supone que Teodoro había demostrado que todas las raíces cuadradas de los números enteros no cuadrados del 3 al 17 son irracionales por medio de la Espiral de Teodoro. ^[2]

Platón no atribuye a Teodoro la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 , porque ya era bien conocida antes de él. Teodoro y Teeteto dividieron los números racionales y los números irracionales en categorías diferentes. ^[3]

Hipotenusa

Cada una de las hipotenusas de los triángulos da la raíz cuadrada del número natural correspondiente , con . ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{1}={\sqrt {2}}}$

Platón, bajo la tutela de Teodoro, cuestionó por qué Teodoro se detuvo en . Se cree comúnmente que la razón es que la hipotenusa pertenece al último triángulo que no se superpone a la figura. ^[4] ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

Superposición

En 1958, Kaleb Williams demostró que nunca coincidirán dos hipotenusas, independientemente de lo lejos que se continúe la espiral. Además, si los lados de longitud unitaria se extienden en una línea , nunca pasarán por ninguno de los otros vértices de la figura total. ^{[4] [5]}

Extensión

Espiral extendida coloreada de Teodoro con 110 triángulos

Teodoro detuvo su espiral en el triángulo con una hipotenusa de . Si la espiral se continúa hasta una cantidad infinita de triángulos, se encuentran muchas más características interesantes. ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

Índice de crecimiento

Ángulo

Si es el ángulo del triángulo (o segmento espiral), entonces: Por lo tanto, el crecimiento del ángulo del siguiente triángulo es: ^[1] ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$$

La suma de los ángulos de los primeros triángulos se denomina ángulo total del triángulo n.º. Crece proporcionalmente a la raíz cuadrada de , con un término de corrección acotado : ^[1] donde ( OEIS : A105459 ). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c_{2}}$ $${\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots }$$

Un triángulo o sección de espiral.

Radio

El crecimiento del radio de la espiral en un triángulo determinado es ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}$$

Espiral de Arquímedes

La espiral de Teodoro se aproxima a la espiral de Arquímedes . ^[1] Así como la distancia entre dos vueltas de la espiral de Arquímedes es igual a una constante matemática , a medida que el número de vueltas de la espiral de Teodoro se acerca al infinito , la distancia entre dos vueltas consecutivas se acerca rápidamente a . ^[6] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

La siguiente tabla muestra los sucesivos devanados de la espiral acercándose a pi:

Como se muestra, después de solo el quinto bobinado, la distancia es una aproximación precisa del 99,97 % a . ^[1] ${\displaystyle \pi }$

Curva continua

Continuación analítica de la Espiral de Teodoro de Philip J. Davis, incluyendo extensión en dirección opuesta al origen (números de nodos negativos).

La cuestión de cómo interpolar los puntos discretos de la espiral de Teodoro por una curva suave fue propuesta y respondida por Philip J. Davis en 2001 por analogía con la fórmula de Euler para la función gamma como interpolante para la función factorial . Davis encontró la función ^[7] que fue estudiada más a fondo por su estudiante Leader ^[8] y por Iserles ^[9] . Esta función puede caracterizarse axiomáticamente como la única función que satisface la ecuación funcional la condición inicial y la monotonía tanto en el argumento como en el módulo ^[10] . $${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}$$ $${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}$$ ${\displaystyle f(0)=1,}$

Una continuación analítica de la forma continua de la Espiral de Teodoro de Davis se extiende en la dirección opuesta al origen. ^[11]

En la figura, los nodos de la espiral original (discreta) de Theodorus se muestran como pequeños círculos verdes. Los azules son aquellos que se agregaron en la dirección opuesta de la espiral. En la figura, solo se enumeran los nodos con el valor entero del radio polar . El círculo discontinuo en el origen de coordenadas es el círculo de curvatura en . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$

Véase también

• La espiral de Fermat
• Lista de espirales

Referencias

1. Hahn, Harry K. (2007), La distribución ordenada de números naturales en la espiral de raíz cuadrada , arXiv : 0712.2184
2. Nahin, Paul J. (1998), Un cuento imaginario: la historia de , Princeton University Press, pág. 33, ISBN ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 0-691-02795-1
3. Platón; Dyde, Samuel Walters (1899), El Teeteto de Platón, J. Maclehose, págs. 86-87
4. Long, Kate, A Lesson on The Root Spiral, archivado desde el original el 11 de abril de 2013 , consultado el 30 de abril de 2008
5. Teuffel, Erich (1958), "Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke", Mathematisch-Physikalische Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität , 6 : 148-152, SEÑOR  0096160
6. Hahn, Harry K. (2008), La distribución de números naturales divisibles por 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17 en la espiral de raíz cuadrada , arXiv : 0801.4422
7. Davis (2001), págs. 37–38.
8. Líder, Jeffery James (1990), La iteración generalizada de Theodorus (tesis doctoral), Universidad de Brown, pág. 173, MR  2685516, ProQuest  303808219
9. En un apéndice de (Davis 2001)
10. Gronau (2004). Una derivación alternativa se da en Heuvers, Moak y Boursaw (2000).
11. Villanueva (2009).

Lectura adicional

• Davis, PJ (2001), Espirales desde Teodoro hasta el Caos , AK Peters/CRC Press
• Gronau, Detlef (marzo de 2004), "La espiral de Teodoro", The American Mathematical Monthly , 111 (3): 230–237, doi :10.2307/4145130, JSTOR  4145130
• Heuvers, J.; Moak, DS; Boursaw, B (2000), "La ecuación funcional de la espiral de raíz cuadrada", en TM Rassias (ed.), Functional Equations and Inequalities , págs. 111–117
• Waldvogel, Jörg (2009), Continuación analítica de la espiral de Teodoro (PDF)