En geometría , la espiral de Teodoro (también llamada espiral de raíz cuadrada , espiral pitagórica o caracol de Pitágoras ) [1] es una espiral compuesta por triángulos rectángulos , colocados borde con borde. Recibe su nombre en honor a Teodoro de Cirene .
La espiral comienza con un triángulo rectángulo isósceles , en el que cada cateto tiene una longitud unitaria . Se forma otro triángulo rectángulo (que es el único triángulo rectángulo automediano ), en el que un cateto es la hipotenusa del triángulo rectángulo anterior (cuya longitud es la raíz cuadrada de 2 ) y el otro cateto tiene una longitud de 1; la longitud de la hipotenusa de este segundo triángulo rectángulo es la raíz cuadrada de 3 . A continuación, el proceso se repite; el triángulo n.º de la secuencia es un triángulo rectángulo con longitudes de lado y 1, y con hipotenusa . Por ejemplo, el triángulo n.º 16 tiene lados que miden , 1 e hipotenusa de .
Aunque se ha perdido toda la obra de Teodoro, Platón incluyó a Teodoro en su diálogo Teeteto , que habla de su obra. Se supone que Teodoro había demostrado que todas las raíces cuadradas de los números enteros no cuadrados del 3 al 17 son irracionales por medio de la Espiral de Teodoro. [2]
Platón no atribuye a Teodoro la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 , porque ya era bien conocida antes de él. Teodoro y Teeteto dividieron los números racionales y los números irracionales en categorías diferentes. [3]
Cada una de las hipotenusas de los triángulos da la raíz cuadrada del número natural correspondiente , con .
Platón, bajo la tutela de Teodoro, cuestionó por qué Teodoro se detuvo en . Se cree comúnmente que la razón es que la hipotenusa pertenece al último triángulo que no se superpone a la figura. [4]
En 1958, Kaleb Williams demostró que nunca coincidirán dos hipotenusas, independientemente de lo lejos que se continúe la espiral. Además, si los lados de longitud unitaria se extienden en una línea , nunca pasarán por ninguno de los otros vértices de la figura total. [4] [5]
Teodoro detuvo su espiral en el triángulo con una hipotenusa de . Si la espiral se continúa hasta una cantidad infinita de triángulos, se encuentran muchas más características interesantes.
Si es el ángulo del triángulo (o segmento espiral), entonces: Por lo tanto, el crecimiento del ángulo del siguiente triángulo es: [1]
La suma de los ángulos de los primeros triángulos se denomina ángulo total del triángulo n.º. Crece proporcionalmente a la raíz cuadrada de , con un término de corrección acotado : [1] donde ( OEIS : A105459 ).
El crecimiento del radio de la espiral en un triángulo determinado es
La espiral de Teodoro se aproxima a la espiral de Arquímedes . [1] Así como la distancia entre dos vueltas de la espiral de Arquímedes es igual a una constante matemática , a medida que el número de vueltas de la espiral de Teodoro se acerca al infinito , la distancia entre dos vueltas consecutivas se acerca rápidamente a . [6]
La siguiente tabla muestra los sucesivos devanados de la espiral acercándose a pi:
Como se muestra, después de solo el quinto bobinado, la distancia es una aproximación precisa del 99,97 % a . [1]
La cuestión de cómo interpolar los puntos discretos de la espiral de Teodoro por una curva suave fue propuesta y respondida por Philip J. Davis en 2001 por analogía con la fórmula de Euler para la función gamma como interpolante para la función factorial . Davis encontró la función [7] que fue estudiada más a fondo por su estudiante Leader [8] y por Iserles [9] . Esta función puede caracterizarse axiomáticamente como la única función que satisface la ecuación funcional la condición inicial y la monotonía tanto en el argumento como en el módulo [10] .
Una continuación analítica de la forma continua de la Espiral de Teodoro de Davis se extiende en la dirección opuesta al origen. [11]
En la figura, los nodos de la espiral original (discreta) de Theodorus se muestran como pequeños círculos verdes. Los azules son aquellos que se agregaron en la dirección opuesta de la espiral. En la figura, solo se enumeran los nodos con el valor entero del radio polar . El círculo discontinuo en el origen de coordenadas es el círculo de curvatura en .