Espectrograma generalizado

Para ver una señal (considerada una función del tiempo) representada tanto en el eje de tiempo como en el de frecuencia, se utiliza la representación de tiempo-frecuencia . El espectrograma es una de las representaciones de tiempo-frecuencia más populares, y el espectrograma generalizado , también llamado "espectrograma de dos ventanas", es la aplicación generalizada del espectrograma.

Definición

La definición del espectrograma se basa en la transformada de Gabor (también llamada transformada de Fourier de corto tiempo, para abreviar STFT), cuya idea es localizar una señal f en el tiempo multiplicándola por traslaciones de una función de ventana . ${\displaystyle w(t)}$

La definición de espectrograma es

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$,

donde denota la Transformada de Gabor de . ${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}}$ ${\displaystyle x(t)}$

Con base en el espectrograma, el espectrograma generalizado se define como:

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{_{x,{w_{2}}}}^{*}(t,f)}$,

dónde:

${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

Para , se reduce al espectrograma clásico: ${\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)=w(t)}$

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$

La característica del espectrograma generalizado es que los tamaños de ventana de y son diferentes. Dado que la resolución tiempo-frecuencia se verá afectada por el tamaño de la ventana, si se elige una ancha y una estrecha (o lo contrario), sus resoluciones serán altas en diferentes partes del espectrograma. Después de la multiplicación de estas dos transformadas de Gabor, se mejorarán las resoluciones de los ejes de tiempo y frecuencia. ${\displaystyle w_{1}(t)}$ ${\displaystyle w_{2}(t)}$ ${\displaystyle w_{1}(t)}$ ${\displaystyle w_{1}(t)}$

Propiedades

Relación con Distribución Wigner

${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)=Wig(w_{1}',w_{2}')*Wig(t,f)(x,w),}$

dónde ${\displaystyle w_{1}'(s):=w_{1}(-s),w_{2}'(s):=w_{2}(-s)}$

Condición marginal de tiempo

El espectrograma generalizado satisface la condición marginal de tiempo si y sólo si , ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ ${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$

donde denota la función delta de Dirac ${\displaystyle \delta }$

Condición marginal de frecuencia

El espectrograma generalizado satisface la condición marginal de frecuencia si y sólo si , ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ ${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$

donde denota la función delta de Dirac ${\displaystyle \delta }$

Conservacion de energia

El espectrograma generalizado satisface la conservación de energía si y sólo si . ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ ${\displaystyle (w_{1},w_{2})=1}$

Análisis de la realidad

El espectrograma generalizado es real si y sólo si para algunos . ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ ${\displaystyle w_{1}=Cw_{2}}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$

Referencias

• Apuntes de clase sobre análisis de tiempo, frecuencia y transformada wavelet: del sitio web del curso del Prof. Jian-Jiun Ding
• P. Boggiatto, G. De Donno y A. Oliaro, “Espectrograma de dos ventanas y sus integrales”, Avances y aplicaciones, vol. 205, págs. 251–268, 2009.