Espacio métrico probabilístico

En matemáticas , los espacios métricos probabilísticos son una generalización de los espacios métricos donde la distancia ya no toma valores en los números reales no negativos R _{≥  0} , sino en funciones de distribución. ^[1]

Sea D+ el conjunto de todas las funciones de distribución de probabilidad F tales que F (0) = 0 ( F es una función continua por la izquierda y no decreciente de R en [0, 1] tal que max ( F ) = 1).

Entonces, dado un conjunto no vacío S y una función F : S  ×  S → D+ donde denotamos F ( p ,  q ) por F _{p , q} para cada ( p ,  q ) ∈ S × S , se dice que el par ordenado ( S ,  F ) es un espacio métrico probabilístico si:

• Para todos u y v en S , u  =  v si y sólo si F _{u , v} ( x ) = 1 para todo x > 0.
• Para todos u y v en S , F _{u , v} = F _{v , u} .
• Para todos u , v y w en S , F _{u , v} ( x ) = 1 y F _{v , w} ( y ) = 1 ⇒ F _{u , w} ( x  +  y ) = 1 para x , y > 0 . ^[2]

Historia

Los espacios métricos probabilísticos fueron introducidos inicialmente por Menger, los cuales fueron denominados métricas estadísticas . ^[3] Poco después, Wald criticó la desigualdad triangular generalizada y propuso una alternativa. ^[4] Sin embargo, ambos autores habían llegado a la conclusión de que en algunos aspectos la desigualdad de Wald era un requisito demasiado estricto para imponerlo a todos los espacios métricos de probabilidad, lo que se incluye en parte en el trabajo de Schweizer y Sklar. ^[5] Más tarde, los espacios métricos probabilísticos resultaron ser muy adecuados para ser utilizados con conjuntos difusos ^[6] y, en adelante, se denominaron espacios métricos difusos ^[7].

Métrica de probabilidad de variables aleatorias

Una métrica de probabilidad D entre dos variables aleatorias X e Y puede definirse, por ejemplo, como donde F ( x , y ) denota la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X e Y . Si X e Y son independientes entre sí, entonces la ecuación anterior se transforma en donde f ( x ) y g ( y ) son funciones de densidad de probabilidad de X e Y respectivamente. $${\displaystyle D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|F(x,y)\,dx\,dy}$$ $${\displaystyle D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|f(x)g(y)\,dx\,dy}$$

Se puede demostrar fácilmente que tales métricas de probabilidad no satisfacen el primer axioma métrico o lo satisfacen si, y solo si, ambos argumentos X e Y son ciertos eventos descritos por funciones de distribución de probabilidad de densidad delta de Dirac . En este caso: la métrica de probabilidad simplemente se transforma en la métrica entre valores esperados de las variables X e Y. $${\displaystyle D(X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|x-y|\delta (x-\mu _{x})\delta (y-\mu _{y})\,dx\,dy=|\mu _{x}-\mu _{y}|}$$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle \mu _{y}}$

Para todas las demás variables aleatorias X , Y, la métrica de probabilidad no satisface la condición de identidad de indiscernibles que debe satisfacer la métrica del espacio métrico, es decir: $${\displaystyle D\left(X,X\right)>0.}$$

Métrica de probabilidad entre dos variables aleatorias X e Y , ambas con distribuciones normales y la misma desviación estándar (comenzando con la curva inferior). denota una distancia entre las medias de X e Y . ${\displaystyle \sigma =0,\sigma =0.2,\sigma =0.4,\sigma =0.6,\sigma =0.8,\sigma =1}$ ${\displaystyle m_{xy}=|\mu _{x}-\mu _{y}|}$

Ejemplo

Por ejemplo, si ambas funciones de distribución de probabilidad de las variables aleatorias X e Y son distribuciones normales (N) que tienen la misma desviación estándar , la integración produce: donde y es la función de error complementaria . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D\left(X,Y\right)}$ $${\displaystyle D_{NN}(X,Y)=\mu _{xy}+{\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}\exp \left(-{\frac {\mu _{xy}^{2}}{4\sigma ^{2}}}\right)-\mu _{xy}\operatorname {erfc} \left({\frac {\mu _{xy}}{2\sigma }}\right)}$$ $${\displaystyle \mu _{xy}=\left|\mu _{x}-\mu _{y}\right|,}$$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$

En este caso: $${\displaystyle \lim _{\mu _{xy}\to 0}D_{NN}(X,Y)=D_{NN}(X,X)={\frac {2\sigma }{\sqrt {\pi }}}.}$$

Métrica de probabilidad de vectores aleatorios

La métrica de probabilidad de variables aleatorias puede extenderse a la métrica D ( X , Y ) de los vectores aleatorios X , Y sustituyendo con cualquier operador métrico d ( x , y ): donde F ( X , Y ) es la función de densidad de probabilidad conjunta de los vectores aleatorios X e Y . Por ejemplo, sustituyendo d ( x , y ) con la métrica euclidiana y siempre que los vectores X e Y sean mutuamente independientes, obtendríamos: ${\displaystyle |x-y|}$ $${\displaystyle D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )F(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}}$$ $${\displaystyle D(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\sqrt {\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}F(\mathbf {x} )G(\mathbf {y} )\,d\Omega _{x}d\Omega _{y}.}$$

Referencias

1. Sherwood, H. (1971). "Espacios métricos probabilísticos completos". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 20 (2): 117-128. doi : 10.1007/bf00536289 . ISSN  0044-3719.
2. Schweizer, Berthold; Sklar, Abe (1983). Espacios métricos probabilísticos . Series de North-Holland en probabilidad y matemáticas aplicadas. Nueva York: North-Holland. ISBN 978-0-444-00666-0.
3. Menger, K. (2003), "Métricas estadísticas", Selecta Mathematica , Springer Vienna, págs. 433-435, doi :10.1007/978-3-7091-6045-9_35, ISBN 978-3-7091-7294-0
4. Wald, A. (1943), "Sobre una generalización estadística de espacios métricos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 29 (6): 196–197, Bibcode :1943PNAS...29..196W, doi : 10.1073/pnas.29.6.196 , PMC 1078584 , PMID  16578072 
5. Schweizer, B. y Sklar, A (2003), "Métricas estadísticas", Selecta Mathematica, Springer Vienna, págs. 433–435, doi :10.1007/978-3-7091-6045-9_35, ISBN 978-3-7091-7294-0
6. Bede, B. (2013). Matemáticas de conjuntos difusos y lógica difusa. Estudios sobre borrosidad y computación blanda. Vol. 295. Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-35221-8. ISBN 978-3-642-35220-1.
7. Kramosil, Iván; Michálek, Jiří (1975). "Métricas difusas y espacios de métricas estadísticas" (PDF) . Kybernética . 11 (5): 336–344.