En matemáticas , un espacio de Luzin (o espacio de Lusin ), llamado así por NN Luzin , es un espacio topológico T 1 incontable sin puntos aislados en el que cada subconjunto denso en ninguna parte es contable . Hay muchas variaciones menores de esta definición en uso: la condición T 1 puede reemplazarse por T 2 o T 3 , y algunos autores permiten un número contable o incluso arbitrario de puntos aislados.
La existencia de un espacio de Luzin es independiente de los axiomas de ZFC . Lusin (1914) demostró que la hipótesis del continuo implica que existe un espacio de Luzin. Kunen (1977) demostró que, asumiendo el axioma de Martin y la negación de la hipótesis del continuo , no existen espacios de Luzin de Hausdorff .
En el análisis real y la teoría descriptiva de conjuntos , un conjunto de Luzin (o conjunto de Lusin ), se define como un subconjunto incontable A de los reales tal que cada subconjunto incontable de A es no exiguo ; es decir, de segunda categoría de Baire . Equivalentemente, A es un conjunto incontable de reales que cumple cada conjunto de primera categoría en solo un número contable de puntos. Luzin demostró que, si se cumple la hipótesis del continuo, entonces cada conjunto no exiguo tiene un subconjunto de Luzin . Las propiedades obvias de un conjunto de Luzin son que debe ser no exiguo (de lo contrario, el conjunto en sí es un subconjunto exiguo incontable ) y de medida cero , porque cada conjunto de medida positiva contiene un conjunto exiguo que también tiene medida positiva y, por lo tanto, es incontable. Un conjunto débilmente de Luzin es un subconjunto incontable de un espacio vectorial real tal que para cualquier subconjunto incontable el conjunto de direcciones entre diferentes elementos del subconjunto es denso en la esfera de direcciones.
La dualidad medida-categoría proporciona un análogo de medida de los conjuntos de Luzin: conjuntos de medida externa positiva , cada subconjunto incontable de los cuales tiene medida externa positiva. Estos conjuntos se denominan conjuntos de Sierpiński , en honor a Wacław Sierpiński . Los conjuntos de Sierpiński son conjuntos de Luzin débiles, pero no son conjuntos de Luzin.
Elija una colección de 2 ℵ 0 subconjuntos magros de R tales que cada subconjunto magro esté contenido en uno de ellos. Por la hipótesis del continuo, es posible enumerarlos como S α para ordinales contables α . Para cada ordinal contable β elija un número real x β que no esté en ninguno de los conjuntos S α para α < β , lo cual es posible ya que la unión de estos conjuntos es magra, por lo que no es la totalidad de R . Entonces, el conjunto incontable X de todos estos números reales x β tiene solo un número contable de elementos en cada conjunto S α , por lo que es un conjunto de Luzin.
Variaciones más complicadas de esta construcción producen ejemplos de conjuntos de Luzin que son subgrupos , subcampos o subcampos reales cerrados de los números reales.