El teorema de Erdős-Nagy es un resultado de la geometría discreta que establece que un polígono simple no convexo puede convertirse en un polígono convexo mediante una secuencia finita de giros. Los giros se definen tomando una envoltura convexa de un polígono y reflejando una cavidad con respecto al borde límite. El teorema recibe su nombre de los matemáticos Paul Erdős y Béla Szőkefalvi-Nagy .
Una cavidad de un polígono simple no convexo es un polígono simple delimitado por una secuencia consecutiva de aristas del polígono junto con una única arista de su envoltura convexa que no es una arista del polígono en sí. Cada arista de la envoltura convexa que no es una arista de polígono define una cavidad de esta manera. La inversión de una cavidad se obtiene reflejando las aristas del polígono que delimitan la cavidad a lo largo de una línea de reflexión que contiene la arista de la envoltura convexa. Debido a que la cavidad reflejada se encuentra completamente dentro de la imagen reflejada de la envoltura convexa, en el otro lado de esta línea, esta operación no puede introducir ningún cruce, por lo que el resultado de la inversión es otro polígono simple, con un área mayor.
En algunos casos, un solo giro puede hacer que un polígono simple no convexo se vuelva convexo. Una vez que esto sucede, no es posible realizar más giros. El teorema de Erdős-Nagy establece que siempre es posible encontrar una secuencia de giros que produzca un polígono convexo de esta manera. Más concretamente, para cada polígono simple, cada secuencia de giros producirá eventualmente un polígono convexo, en un número finito de pasos.
Existen cuadriláteros que requieren un número arbitrario de giros (pero finito) para que sean convexos. Por lo tanto, no es posible limitar el número de pasos en función del número de lados del polígono.
Paul Erdős planteó el resultado en 1935 como un problema en la revista American Mathematical Monthly . En la versión planteada por Erdős, todos los bolsillos deben voltearse simultáneamente; sin embargo, esto puede provocar que el polígono deje de ser simple, ya que dos bolsillos pueden voltearse uno sobre el otro. En 1939, Szőkefalvi-Nagy señaló este problema con la formulación de Erdős, reformuló el problema en su forma ahora estándar y publicó una prueba. La prueba de Szőkefalvi-Nagy tenía un caso incorrecto, que fue señalado en un estudio del problema de 1995 por Branko Grünbaum ; sin embargo, las pruebas de Grünbaum y Godfried Toussaint son igualmente incompletas. En 1957, dos matemáticos rusos independientes, Reshetnyak y Yusupov, aportaron pruebas adicionales (algunas de ellas correctas, pero no todas), en 1959, Bing y Kazarinoff, y en 1993, Wegner. Demaine, Gassend, O'Rourke y Toussaint analizan esta historia y ofrecen una prueba corregida.
Un método alternativo para hacer que los polígonos no convexos sean convexos que también se ha estudiado es realizar giros y vueltas , rotaciones de 180 grados de un bolsillo alrededor del punto medio de su borde convexo.