Arrastre de Epstein

Ecuación para la resistencia de una esfera en un flujo con un número de Knudsen alto

En dinámica de fluidos , el arrastre de Epstein es un resultado teórico de la fuerza de arrastre ejercida sobre esferas en un flujo con un número de Knudsen alto (es decir, flujo de gas enrarecido). ^[1] Esto puede aplicarse, por ejemplo, a gotitas submicrónicas en el aire o a objetos esféricos más grandes que se mueven en gases más enrarecidos que el aire a temperatura y presión estándar . Tenga en cuenta que, si bien pueden ser pequeñas según algunos criterios, las esferas deben ser, sin embargo, mucho más masivas que las especies (moléculas, átomos) en el gas que están colisionando con la esfera, para que se aplique el arrastre de Epstein. La razón de esto es asegurar que el cambio en el momento de la esfera debido a colisiones individuales con especies de gas no sea lo suficientemente grande como para alterar sustancialmente el movimiento de la esfera, como ocurre en el movimiento browniano .

El resultado fue obtenido por Paul Sophus Epstein en 1924. Su resultado se utilizó para mediciones de alta precisión de la carga del electrón en el experimento de la gota de aceite realizado por Robert A. Millikan , citado por Millikan en su artículo de revisión de 1930 sobre el tema. ^[2] Para el trabajo inicial sobre ese experimento, se supuso que la resistencia seguía la ley de Stokes . Sin embargo, para gotas sustancialmente por debajo de la escala submicrónica, la resistencia se aproxima a la resistencia de Epstein en lugar de la resistencia de Stokes , ya que el camino libre medio de las especies de aire (átomos y moléculas) es aproximadamente del orden de una décima de micrón.

Declaración de la ley

La magnitud de la fuerza sobre una esfera que se mueve a través de un gas enrarecido, en el que el diámetro de la esfera es de orden o menor que el camino libre medio de colisión en el gas, es

${\displaystyle F=\delta {\frac {4\pi }{3}}a^{2}nm{\bar {c}}u}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ es el radio de la partícula esférica, ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ es la densidad numérica de las especies de gas, ⁠ ⁠ ${\displaystyle m}$ es su masa, es la velocidad media aritmética de las especies de gas y ⁠ ⁠ es la velocidad relativa de la esfera con respecto al marco de reposo del gas. El factor abarca la microfísica de la interacción gas-esfera y la distribución resultante de velocidades de las partículas reflejadas, lo que no es un problema trivial. No es raro suponer (ver más abajo) presumiblemente en parte porque empíricamente se encuentra que es cercano a 1 numéricamente, y en parte porque en muchas aplicaciones, la incertidumbre debida a se ve eclipsada por otras incertidumbres en el problema. Por esta razón, a veces se encuentra el arrastre de Epstein escrito con el factor ausente. La fuerza actúa en una dirección opuesta a la dirección de movimiento de la esfera. Las fuerzas que actúan normalmente a la dirección del movimiento se conocen como "sustentación", no "arrastre", y en cualquier caso no están presentes en el problema planteado cuando la esfera no está girando. ^[1] ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta =1}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Para mezclas de gases (por ejemplo, aire), la fuerza total es simplemente la suma de las fuerzas debidas a cada componente del gas, notando con cuidado que cada componente (especie) tendrá una , una y una diferente . Nótese que donde es la densidad del gas, notando nuevamente, con cuidado, que en el caso de múltiples especies, hay múltiples densidades diferentes que contribuyen a la fuerza general. ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle nm=\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

La fuerza neta se debe tanto a la transferencia de momento a la esfera debido a las especies que inciden sobre ella, como a la transferencia de momento debido a las especies que salen, ya sea por reflexión, evaporación o alguna combinación de las dos. Además, la fuerza debida a la reflexión depende de si la reflexión es puramente especular o, por el contrario, parcial o totalmente difusa, y la fuerza también depende de si la reflexión es puramente elástica o inelástica, o alguna otra suposición con respecto a la distribución de velocidad de las partículas reflectantes, ya que las partículas están, después de todo, en contacto térmico -aunque brevemente- con la superficie. Todos estos efectos se combinan en el trabajo de Epstein en un prefactor general " ". Teóricamente, para la reflexión especular puramente elástica, pero puede ser menor o mayor que la unidad en otras circunstancias. Como referencia, tenga en cuenta que la teoría cinética da Para los casos específicos considerados por Epstein, varía desde un valor mínimo de 1 hasta un valor máximo de 1,444. Por ejemplo, Epstein predice para colisiones elásticas difusas. En ocasiones, se puede encontrar el coeficiente de acomodación, que aparece en el modelo de Maxwell para la interacción de especies de gas con superficies, que caracteriza la fracción de eventos de reflexión que son difusos (en contraposición a especulares). (Existen otros coeficientes de acomodación que también describen la transferencia de energía térmica, pero están fuera del alcance de este artículo). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta =1}$ $${\displaystyle {\bar {c}}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}}.}$$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta =1+\pi /8\simeq 1.39}$ $${\displaystyle \delta =1+\alpha {\frac {\pi }{8}}}$$ ${\displaystyle \alpha }$

De acuerdo con la teoría, una medición empírica, por ejemplo, para esferas de melamina-formaldehído en gas argón, da como resultado lo medido por un método y por otro método, como lo informan los mismos autores en el mismo artículo. ^[3] Según el propio Epstein, Millikan lo encontró para gotas de aceite, mientras que Knudsen lo encontró para esferas de vidrio. ${\displaystyle \delta =1.26\pm 0.13}$ ${\displaystyle \delta =1.44\pm 0.19}$ ${\displaystyle \delta =1.154}$ ${\displaystyle \delta =1.164}$

En su artículo, Epstein también consideró modificaciones para permitir que no haya trivialidades . Es decir, trató los términos principales en lo que sucede si el flujo no está completamente en el régimen enrarecido. Además, consideró los efectos debidos a la rotación de la esfera. Normalmente, por "arrastre de Epstein", no se incluyen tales efectos. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\rm {Kn}}^{-1}}$

Como señaló el propio Epstein, ^{[1] Langevin [4]} , Cunningham ^[5] y Lenard ^[6 ] habían realizado trabajos previos sobre este problema . Sin embargo, estos resultados anteriores eran erróneos, como lo demostró Epstein; como tal, el trabajo de Epstein se considera definitivo y el resultado lleva su nombre.

Aplicaciones

Como se mencionó anteriormente, la aplicación práctica original del arrastre de Epstein fue la de refinar las estimaciones de la carga del electrón en el experimento de la gota de aceite de Millikan. De ahí surgieron varias aplicaciones prácticas importantes.

Una de las muchas aplicaciones en astrofísica es el problema del acoplamiento gas-polvo en los discos protoestelares. ^{[7] [8] [9]} Véase también la sección 4.1.1, "Arrastre de Epstein", página 110-111 de. ^[10]

Otra aplicación es el arrastre de polvo estelar en atmósferas de gigantes rojas, que contrarresta la aceleración debida a la presión de radiación ^[11].

Otra aplicación es la de los plasmas polvorientos.

Referencias

1. Epstein, Paul S. (1924) SOBRE LA RESISTENCIA EXPERIMENTADA POR LAS ESFERAS EN SU MOVIMIENTO A TRAVÉS DE GASES , Physical Review, 23, 710--733.
2. Millikan, Robert A. (1930) LOS VALORES MÁS PROBABLES DE 1930 DEL ELECTRÓN Y CONSTANTES RELACIONADAS Phys. Rev. 35, 1231--1237.
3. Liu, Bin y Goree, J. y Nosenko, V. y Boufendi, L. (2003) Presión de radiación y fuerzas de arrastre de gas en una microesfera de melamina-formaldehído en un plasma polvoriento , Phys. Plasmas, 10, 9--20 doi=10.1063/1.1526701.
4. , Langevin (1905) Ana. de Chim. y Phys. 5, 266.
5. E. Cunningham (1910) Proc. Roy. Soc. 83, 359.
6. P. Lenard (1920) Ana. der Phys. 61, 672.
7. Baines, MJ y Williams, IP y AS Asebiomo, AS (1965) RESISTENCIA AL MOVIMIENTO DE UNA PEQUEÑA ESFERA QUE SE MUEVE A TRAVÉS DE UN GAS , Mon. Not. R. Astr. Soc. 130, 63--74.
8. Weidenschilling, SJ (1977) Aerodinámica de cuerpos sólidos en la nebulosa solar , Mon. Not. R. Astr. Soc. 180, 57-70.
9. Stoyanovskaya, OP; Okladnikov, FA; Vorobyov, EI; Pavlyuchenkov, Ya. N.; Akimkin, VV (1 de febrero de 2020). "Simulaciones de discos circunestelares dinámicos de gas y polvo: más allá del régimen de Epstein". Astronomy Reports . 64 (2): 107–125. arXiv : 2102.09155 . Código Bibliográfico :2020ARep...64..107S. doi :10.1134/S1063772920010072. ISSN  1562-6881. S2CID  216367467.
10. Armitage, Philip J. (2010) Astrofísica de la formación de planetas, Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido ISBN 978-1-107-65308-5.
11. Kwok, Sun (1974) PRESIÓN DE RADIACIÓN EN GRANOS COMO MECANISMO DE PÉRDIDA DE MASA EN GIGANTES ROJAS , Ap. J., 198, 583-591.