superficie enriques

Superficie algebraica con propiedades especiales de trivialidad.

En matemáticas , las superficies de Enriques son superficies algebraicas tales que la irregularidad q = 0 y el paquete de líneas canónicas K no son triviales pero tienen un cuadrado trivial. Las superficies de Enriques son todas proyectivas (y por tanto Kähler sobre los números complejos ) y son superficies elípticas de género 0. Sobre campos de característica no 2 son cocientes de superficies K3 por un grupo de orden 2 actuando sin puntos fijos y su teoría es similar a el de las superficies algebraicas K3. Las superficies de Enriques fueron estudiadas en detalle por primera vez por Enriques  (1896) como respuesta a una pregunta discutida por Castelnuovo (1895) sobre si una superficie con q = p _g = 0 es necesariamente racional, aunque algunas de las congruencias de Reye introducidas anteriormente por Reye  ( 1882) son también ejemplos de superficies de Enrique.

Las superficies de Enriques también se pueden definir sobre otros campos. En campos de características distintas de 2, Artin (1960) demostró que la teoría es similar a la de los números complejos. Sobre los campos de la característica 2 se modifica la definición, y existen dos nuevas familias, denominadas superficies de Enriques singulares y supersingulares, descritas por Bombieri y Mumford (1976). Estas dos familias adicionales están relacionadas con los dos esquemas de grupos algebraicos no discretos de orden 2 en la característica 2.

Invariantes de superficies complejas de Enriques.

Los plurigenera P _n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H ² ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la única red par unimodular II _1,9 de dimensión 10 y signatura -8 y un grupo de orden 2.

Diamante Hodge:

Las superficies marcadas por Enriques forman una familia conectada de 10 dimensiones, que Kondo (1994) demostró que es racional.

Característica 2

En la característica 2 hay algunas familias nuevas de superficies Enriques, a veces llamadas superficies cuasi Enriques o superficies Enriques no clásicas o superficies Enriques (super)singulares . (El término "singular" no significa que la superficie tenga singularidades, sino que la superficie es "especial" de alguna manera.) En la característica 2 se modifica la definición de superficies de Enriques: se definen como superficies mínimas cuya clase canónica K equivale numéricamente a 0 y cuyo segundo número de Betti es 10. (En características distintas a 2 esto equivale a la definición habitual). Ahora existen 3 familias de superficies de Enriques:

• Clásico: dim(H ¹ ( O)) = 0. Esto implica 2 K = 0 pero K es distinto de cero y Pic ^τ es Z /2 Z. La superficie es un cociente de una superficie singular de Gorenstein reducida según el esquema de grupo μ ₂ .
• Singular: dim(H ¹ (O)) = 1 y el endomorfismo de Frobenius actúa de forma no trivial. Esto implica K = 0, y Pic ^τ es μ ₂ . La superficie es un cociente de una superficie K3 según el esquema de grupo Z/2Z.
• Supersingular: dim(H ¹ (O)) = 1 y el endomorfismo de Frobenius actúa trivialmente sobre él. Esto implica K = 0, y Pic ^τ es α ₂ . La superficie es un cociente de una superficie singular de Gorenstein reducida por el esquema de grupo α ₂ .

Todas las superficies de Enriques son elípticas o cuasi elípticas.

Ejemplos

• Una congruencia de Reye es la familia de líneas contenidas en al menos 2 cuádricas de un sistema lineal tridimensional dado de cuádricas en P ³ . Si el sistema lineal es genérico entonces la congruencia de Reye es una superficie de Enriques. Fueron encontrados por Reye (1882) y pueden ser los primeros ejemplos de superficies de Enrique.
• Tome una superficie de grado 6 en un espacio proyectivo tridimensional con líneas dobles a lo largo de los bordes de un tetraedro , como

${\displaystyle w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0}$

para algún polinomio homogéneo general Q de grado 2. Entonces su normalización es una superficie de Enriques. Esta es la familia de ejemplos encontrados por Enriques (1896).

• El cociente de una superficie K3 por una involución libre de punto fijo es una superficie de Enriques, y todas las superficies de Enriques con características distintas a 2 se pueden construir así. Por ejemplo, si S es la superficie K3 w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ = 0 y T es el automorfismo de orden 4 que lleva ( w , x , y , z ) a ( w , ix ,– y ,– iz ) entonces T ² tiene ocho puntos fijos. Explotando estos ocho puntos y tomando el cociente por T ^{2 se obtiene una superficie K3 con una involución} T sin puntos fijos , y el cociente de esto por T es una superficie de Enriques. Alternativamente, la superficie de Enriques se puede construir tomando el cociente de la superficie original por el automorfismo T de orden 4 y resolviendo los ocho puntos singulares del cociente. Otro ejemplo se da tomando la intersección de 3 cuádricas de la forma P _i ( u , v , w ) + Q _i ( x , y , z ) = 0 y tomando el cociente por la involución tomando ( u : v : w : x : y : z ) a (– x :– y :– z : u : v : w ). Para las cuádricas genéricas, esta involución es una involución sin puntos fijos de una superficie K3, por lo que el cociente es una superficie de Enriques.

Ver también

• Lista de superficies algebraicas
• Clasificación Enriques-Kodaira
• Variedad supersingular

Referencias

• Artin, Michael (1960), Sobre las superficies de Enrique , tesis doctoral, Harvard
• Superficies complejas compactas por Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2 Este es el libro de referencia estándar para superficies complejas compactas. 
• Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "Clasificación de superficies de Enriques en char. p. III". (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 (1): 197–232, Bibcode :1976InMat..35..197B, doi :10.1007/BF01390138, ISSN  0020-9910, MR  0491720, S2CID  122816845
• Castelnuovo, G. (1895), "Sulle superficie di genere zero", Mem. Delle Soc. Italiano. Delle Scienze , Serie III, 10 : 103-123
• Cossec, François R.; Dolgachev, Igor V. (1989), Enriques emerge. I , Progreso en Matemáticas, vol. 76, Boston: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, señor  0986969
• Dolgachev, Igor V. (2016), Una breve introducción a las superficies de Enrique (PDF)
• Enriques, Federigo (1896), "Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.", Mem. Soc. Italiano. Delle Scienze , 10 : 1–81
• Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche (PDF) , Nicola Zanichelli, Bolonia, MR  0031770
• Kondo, Shigeyuki (1994), "La racionalidad del espacio de módulos de las superficies de Enriques", Compositio Mathematica , 91 (2): 159–173
• Reye, T. (1882), Die Geometrie der Lage, Leipzig: Baumgärtnerś Buchhandlung