Teorema del área de Pappus

Relaciona áreas de tres paralelogramos unidos a tres lados de un triángulo arbitrario

área gris oscuro = área gris claro

El teorema del área de Pappus describe la relación entre las áreas de tres paralelogramos unidos a tres lados de un triángulo arbitrario . El teorema, que también puede considerarse una generalización del teorema de Pitágoras , lleva el nombre del matemático griego Pappus de Alejandría (siglo IV d. C.), quien lo descubrió.

Teorema

Dado un triángulo arbitrario con dos paralelogramos arbitrarios unidos a dos de sus lados, el teorema dice cómo construir un paralelogramo sobre el tercer lado, de manera que el área del tercer paralelogramo sea igual a la suma de las áreas de los otros dos paralelogramos.

Sean ABC el triángulo arbitrario y ABDE y ACFG los dos paralelogramos arbitrarios unidos a los lados del triángulo AB y AC. Los lados extendidos del paralelogramo DE y FG se cruzan en H. El segmento de línea AH ahora "se convierte" en el lado del tercer paralelogramo BCML unido al lado del triángulo BC, es decir, se construyen los segmentos de línea BL y CM sobre BC, de modo que BL y CM son paralelos y de igual longitud a AH. La siguiente identidad se cumple entonces para las áreas (indicadas por A) de los paralelogramos:

${\displaystyle {\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}}$

El teorema generaliza dos veces el teorema de Pitágoras. En primer lugar, funciona con triángulos arbitrarios en lugar de sólo con ángulos rectos y, en segundo lugar, utiliza paralelogramos en lugar de cuadrados. Para cuadrados en dos lados de un triángulo arbitrario, se obtiene un paralelogramo de igual área sobre el tercer lado y si los dos lados son catetos de un ángulo recto, el paralelogramo sobre el tercer lado también será cuadrado. Para un triángulo rectángulo, dos paralelogramos unidos a los catetos del ángulo recto producen un rectángulo de igual área en el tercer lado y nuevamente, si los dos paralelogramos son cuadrados, entonces el rectángulo en el tercer lado también será un cuadrado.

Prueba

Debido a que tienen la misma longitud y altura de base, los paralelogramos ABDE y ABUH tienen la misma área, aplicándose el mismo argumento a los paralelogramos ACFG y ACVH , ABUH y BLQR , ACVH y RCMQ . Esto ya produce el resultado deseado, ya que tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLQR}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}}$

Referencias

• Howard Eves: Extensión de Pappus del teorema de Pitágoras . The Mathematics Teacher, vol. 51, núm. 7 (noviembre de 1958), págs. 544–546 (JSTOR)
• Howard Eves: Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . Asociación Matemática de América, 1983, ISBN  9780883853108 , pág. 37 ( extracto , p. 37, en Google Books )
• Eli Maor : El teorema de Pitágoras: una historia de 4.000 años . Princeton University Press, 2007, ISBN 9780691125268 , págs. 58–59 ( extracto , pág. 58, en Google Books ) 
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas encantadoras: un viaje a las matemáticas elegantes . MAA, 2010, ISBN 9780883853481 , págs. 77–78 ( extracto , pág. 77, en Google Books ) 

enlaces externos

• El teorema del área de Pappus
• teorema de papus