Teorema de separación de fondos mutuos

En teoría de cartera , un teorema de separación de fondos mutuos , teorema de fondos mutuos o teorema de separación es un teorema que establece que, bajo ciertas condiciones, la cartera óptima de cualquier inversor puede construirse manteniendo cada uno de ciertos fondos mutuos en proporciones apropiadas, donde el número de fondos mutuos es menor que el número de activos individuales en la cartera. Aquí, un fondo mutuo se refiere a cualquier cartera de referencia especificada de los activos disponibles. Hay dos ventajas de tener un teorema de fondos mutuos. Primero, si se cumplen las condiciones relevantes, puede ser más fácil (o menor en costos de transacción) para un inversor comprar una cantidad menor de fondos mutuos que comprar una cantidad mayor de activos individualmente. Segundo, desde un punto de vista teórico y empírico, si se puede suponer que las condiciones relevantes se cumplen de hecho, entonces se pueden derivar y probar implicaciones para el funcionamiento de los mercados de activos.

Separación de carteras en el análisis de media-varianza

Las carteras se pueden analizar en un marco de media-varianza , con cada inversor manteniendo la cartera con la varianza de retorno más baja posible consistente con el nivel elegido de retorno esperado por ese inversor (llamada cartera de varianza mínima ), si los retornos de los activos están distribuidos elípticamente de manera conjunta , incluido el caso especial en el que están distribuidos normalmente de manera conjunta . ^{[1] [2]} Bajo el análisis de media-varianza, se puede demostrar ^[3] que cada cartera de varianza mínima dada una rentabilidad esperada particular (es decir, cada cartera eficiente) se puede formar como una combinación de dos carteras eficientes cualesquiera. Si la cartera óptima del inversor tiene una rentabilidad esperada que está entre las rentabilidades esperadas de dos carteras de referencia eficientes, entonces la cartera de ese inversor se puede caracterizar como compuesta por cantidades positivas de las dos carteras de referencia.

No hay ningún activo libre de riesgo

Para ver la separación de dos fondos en un contexto en el que no hay ningún activo libre de riesgo disponible, utilizando el álgebra matricial , sea la varianza del rendimiento de la cartera, sea el nivel de rendimiento esperado de la cartera en el que se debe minimizar la varianza del rendimiento de la cartera, sea el vector de rendimientos esperados de los activos disponibles, sea el vector de cantidades que se colocarán en los activos disponibles, sea la cantidad de riqueza que se asignará en la cartera y sea un vector de unos. Entonces, el problema de minimizar la varianza del rendimiento de la cartera sujeto a un nivel dado de rendimiento esperado de la cartera se puede plantear como ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 1}$

Minimizar ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

sujeto a

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

y

${\displaystyle X^{T}1=W}$

donde el superíndice denota la transposición de una matriz. La varianza del rendimiento de la cartera en la función objetivo se puede escribir como donde es la matriz de covarianza definida positiva de los rendimientos de los activos individuales. El lagrangiano para este problema de optimización restringida (cuyas condiciones de segundo orden se puede demostrar que se satisfacen) es ${\displaystyle ^{T}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),}$

con multiplicadores de Lagrange y . Esto se puede resolver para el vector óptimo de cantidades de activos igualando a cero las derivadas con respecto a , , y , resolviendo provisionalmente la condición de primer orden para en términos de y , sustituyendo en las otras condiciones de primer orden, resolviendo para y en términos de los parámetros del modelo y sustituyendo nuevamente en la solución provisional para . El resultado es ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

Para simplificar, esto se puede escribir de forma más compacta como

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

donde y son vectores de parámetros basados ​​en los parámetros del modelo subyacente. Ahora, consideremos dos carteras eficientes de referencia construidas con rendimientos esperados de referencia y y, por lo tanto, dados por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

y

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

La cartera óptima en un valor arbitrario puede entonces escribirse como un promedio ponderado de y de la siguiente manera: ${\displaystyle \mu _{3}}$ ${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }}$

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

Esta ecuación demuestra el teorema de separación de dos fondos para el análisis de media-varianza. Para una interpretación geométrica, véase el punto de Markowitz .

Un activo libre de riesgos

Si se dispone de un activo libre de riesgo , se aplica nuevamente el teorema de separación de dos fondos; pero en este caso, uno de los "fondos" puede elegirse como un fondo muy simple que contenga únicamente el activo libre de riesgo, y el otro fondo puede elegirse como uno que contenga cero tenencias del activo libre de riesgo. (Si el activo libre de riesgo se denomina "dinero", esta forma del teorema se denomina teorema de separación monetaria ). Por lo tanto, las carteras eficientes de media-varianza pueden formarse simplemente como una combinación de tenencias del activo libre de riesgo y tenencias de un fondo eficiente particular que contenga únicamente activos riesgosos. Sin embargo, la derivación anterior no se aplica, ya que con un activo libre de riesgo, la matriz de covarianza anterior de todos los rendimientos de los activos, , tendría una fila y una columna de ceros y, por lo tanto, no sería invertible. En cambio, el problema puede plantearse como ${\displaystyle V}$

Minimizar ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

sujeto a

${\displaystyle (W-X^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

donde es el rendimiento conocido del activo libre de riesgo, es ahora el vector de cantidades que se mantendrán en los activos riesgosos , y es el vector de rendimientos esperados de los activos riesgosos. El lado izquierdo de la última ecuación es el rendimiento esperado de la cartera, ya que es la cantidad mantenida en el activo libre de riesgo, incorporando así la restricción de suma de activos que en el problema anterior requería la inclusión de una restricción lagrangiana separada. La función objetivo puede escribirse como , donde ahora es la matriz de covarianza de los activos riesgosos únicamente. Se puede demostrar que este problema de optimización produce el vector óptimo de tenencias de activos riesgosos. ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (W-X^{T}1)}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

Por supuesto, esto equivale a un vector cero si , el rendimiento de la cartera libre de riesgo, en cuyo caso toda la riqueza se mantiene en el activo libre de riesgo. Se puede demostrar que la cartera con exactamente cero tenencias del activo libre de riesgo se da en y está dada por ${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$ ${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

También se puede demostrar (de manera análoga a la demostración en el caso de los dos fondos mutuos anterior) que el vector de activos riesgosos de cada cartera (es decir, para cada valor de ) se puede formar como una combinación ponderada del último vector y el vector cero. Para una interpretación geométrica, véase la frontera eficiente sin ningún activo libre de riesgo . ${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle \mu }$

Separación de carteras sin análisis de media-varianza

Si los inversores tienen aversión al riesgo absoluta hiperbólica (HARA) (incluida la función de utilidad de potencia , la función logarítmica y la función de utilidad exponencial ), se pueden obtener teoremas de separación sin el uso del análisis de media-varianza. Por ejemplo, David Cass y Joseph Stiglitz ^[4] demostraron en 1970 que la separación monetaria de dos fondos se aplica si todos los inversores tienen una utilidad HARA con el mismo exponente que los demás. ^{[5] : cap.4}

Más recientemente, en el modelo de optimización dinámica de carteras de Çanakoğlu y Özekici ^{[6], el nivel de riqueza inicial del inversor (la característica distintiva de los inversores) no afecta a la composición óptima de la parte riesgosa de la cartera. Schmedders ofrece un resultado similar [7]} .

Referencias

1. Chamberlain, G (1983). "Una caracterización de las distribuciones que implican funciones de utilidad media-varianza". Journal of Economic Theory . 29 : 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
2. Owen, J.; Rabinovitch, R. (1983). "Sobre la clase de distribuciones elípticas y sus aplicaciones a la teoría de la elección de cartera". Journal of Finance . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x.
3. Merton, Robert ; septiembre (1972). "Una derivación analítica de la frontera de cartera eficiente" (PDF) . Revista de análisis financiero y cuantitativo . 7 (4): 1851–1872. doi :10.2307/2329621. hdl : 1721.1/46832 . JSTOR  2329621.
4. Cass, David; Stiglitz, Joseph (1970). "La estructura de las preferencias de los inversores y los rendimientos de los activos, y la separabilidad en la asignación de cartera". Journal of Economic Theory . 2 (2): 122–160. doi :10.1016/0022-0531(70)90002-5.
5. Huang, Chi-fu y Robert H. Litzenberger, Fundamentos de economía financiera , Holanda Septentrional, 1988.
6. Çanakoğlu, Ethem; Özekici, Süleyman (2010). "Selección de cartera en mercados estocásticos con funciones de utilidad HARA". Revista Europea de Investigación Operativa . 201 (2): 520–536. doi :10.1016/j.ejor.2009.03.017.
7. Schmedders, Karl H. (15 de junio de 2006) "Separación de dos fondos en el equilibrio general dinámico", Serie de documentos de trabajo de la SSRN. https://ssrn.com/abstract=908587