El problema del Nilo es un problema matemático relacionado con particiones iguales de medidas . El problema fue planteado por primera vez por Ronald Fisher en 1936-1938. [1] Dubins y Spanier lo plantean de la siguiente manera: [2]
"Cada año, el Nilo se desbordaba, irrigando o tal vez devastando partes de las tierras agrícolas de una aldea egipcia predinástica . El valor de las distintas porciones de tierra dependía de la altura de la inundación. Se planteaba la posibilidad de dar a cada uno de los k residentes un trozo de tierra cuyo valor fuera 1/ k del valor total de la tierra, sin importar la altura de la inundación."
Formalmente, para cada altura h , existe una medida no atómica v h sobre el terreno, que representa los valores del terreno cuando la altura del Nilo es h .
En general, puede haber infinitas alturas diferentes y, por lo tanto, infinitas medidas diferentes. William Feller demostró en 1938 que podría no existir una solución para el caso general. [3]
Cuando el número de alturas (=medidas) distintas es finito, siempre existe una solución. Esto fue observado por primera vez por Jerzy Neyman en 1946 y demostrado como corolario de los teoremas de Dubins-Spanier en 1961. El problema en este caso se denomina problema de división exacta o de división por consenso .
Un problema relacionado es el problema de las regiones similares estudiado por Neyman y Pearson . [4] Aquí, en lugar de dividir la tierra en k subconjuntos, solo se busca un único subconjunto, cuyo valor para cada medida v h es r veces el valor total (donde r es una constante dada en [0,1]). Desde la perspectiva de la existencia, el problema es equivalente al problema del Nilo, como señaló Georges Darmois . [5] Sin embargo, difieren en el número de cortes necesarios. El número óptimo de cortes necesarios para cualquier r se describe en el teorema de Stromquist-Woodall .