El número del Rayo

Gran número que se ha afirmado que es el número más grande nombrado

El número de Rayo es un número grande que lleva el nombre del profesor de filosofía mexicano Agustín Rayo y que se ha afirmado que es el número con nombre más grande. ^{[1] [2]} Se definió originalmente en un "duelo de números grandes" en el MIT el 26 de enero de 2007. ^{[3] [4]}

Definición

La función de Rayo de un número natural , denotado como , es el número más pequeño y mayor que todo número finito con la siguiente propiedad: existe una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos de primer orden (tal como se presenta en la definición de ) con símbolos menores que y como su única variable libre tal que: (a) existe una asignación de variable que asigna a tal que , y (b) para cualquier asignación de variable , si , entonces asigna a . Esta definición viene dada por la definición original del número de Rayo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mbox{Rayo}}(n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi (x_{1})}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],s)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{1}}$

La definición del número de Rayo es una variación de la definición: ^[5]

El número más pequeño, mayor que cualquier número finito nombrado por una expresión en cualquier lenguaje de teoría de conjuntos de primer orden en el que el lenguaje utiliza sólo un símbolo de googol o menos.

En concreto, una versión inicial de la definición, que posteriormente se aclaró, decía: "El número más pequeño, mayor que cualquier número que pueda nombrarse mediante una expresión en el lenguaje de la teoría de conjuntos de primer orden con menos de un googol ( ) símbolos". ^[4] ${\displaystyle 10^{100}}$

La definición formal del número utiliza la siguiente fórmula de segundo orden , donde es una fórmula codificada por Gödel y es una asignación de variable: ^[5] ${\displaystyle [\phi ]}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mbox{For all }}R\ \{\\&\{{\mbox{for any (coded) formula }}[\psi ]{\mbox{ and any variable assignment }}t\\&(R([\psi ],t)\leftrightarrow \\&(([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}\in x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})\in t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}=x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})=t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\neg \theta ){\mbox{''}}\land \neg R([\theta ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\theta \land \xi ){\mbox{''}}\land R([\theta ],t)\land R([\xi ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}\exists x_{i}\ (\theta ){\mbox{'' and, for some an }}x_{i}{\mbox{-variant }}t'{\mbox{ of }}t,R([\theta ],t'))\\&)\}\rightarrow \\&R([\phi ],s)\}\end{aligned}}}$

Dada esta fórmula, el número de Rayo queda definido como: ^[5]

El número más pequeño mayor que todo número finito con la siguiente propiedad: existe una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos de primer orden (tal como se presenta en la definición de ) con menos de un googol símbolos y como su única variable libre tal que: (a) hay una asignación de variable que asigna a tal que , y (b) para cualquier asignación de variable , si , entonces asigna a . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi (x_{1})}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],s)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Explicación

Intuitivamente, el número de Rayo se define en un lenguaje formal , de tal manera que:

• ${\displaystyle {\mbox{''}}x_{i}\in x_{j}{\mbox{''}}}$y son fórmulas atómicas . ${\displaystyle {\mbox{''}}x_{i}=x_{j}{\mbox{''}}}$
• Si es una fórmula, entonces es una fórmula (la negación de ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mbox{''}}(\neg \theta ){\mbox{''}}}$ ${\displaystyle \theta }$
• Si y son fórmulas, entonces es una fórmula (la conjunción de y ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mbox{''}}(\theta \land \xi ){\mbox{''}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \xi }$
• Si es una fórmula, entonces es una fórmula ( cuantificación existencial ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mbox{''}}\exists x_{i}(\theta ){\mbox{''}}}$

Tenga en cuenta que no se permite eliminar los paréntesis. Por ejemplo, se debe escribir en lugar de . ${\displaystyle {\mbox{''}}\exists x_{i}((\neg \theta )){\mbox{''}}}$ ${\displaystyle {\mbox{''}}\exists x_{i}(\neg \theta ){\mbox{''}}}$

En este lenguaje es posible expresar los conectores lógicos que faltan. Por ejemplo:

• Disyunción : como . ${\displaystyle {\mbox{''}}(\theta \lor \xi ){\mbox{''}}}$ ${\displaystyle {\mbox{''}}(\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi ))){\mbox{''}}}$
• Implicación : como . ${\displaystyle {\mbox{''}}(\theta \Rightarrow \xi ){\mbox{''}}}$ ${\displaystyle {\mbox{''}}(\neg (\theta \land (\neg \xi ))){\mbox{''}}}$
• Bicondicional : como . ${\displaystyle {\mbox{''}}(\theta \Leftrightarrow \xi ){\mbox{''}}}$ ${\displaystyle {\mbox{''}}(\neg ((\neg (\theta \land \xi ))\land (\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi ))))){\mbox{''}}}$
• Cuantificación universal : como . ${\displaystyle {\mbox{''}}\forall x_{i}(\theta ){\mbox{''}}}$ ${\displaystyle {\mbox{''}}(\neg \exists x_{i}((\neg \theta ))){\mbox{''}}}$

La definición se refiere a fórmulas en este lenguaje que tienen solo una variable libre , específicamente . Si una fórmula con longitud se satisface si y solo si es igual al ordinal finito de von Neumann , decimos que dicha fórmula es una "cadena Rayo" para , y que es "Rayo-nombrable" en símbolos. Entonces, se define como el más pequeño y mayor que todos los números Rayo-nombrables en como máximo símbolos. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mbox{Rayo}}(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. "El número de CH. Rayo". The Math Factor Podcast . Consultado el 24 de marzo de 2014 .
2. Kerr, Josh (7 de diciembre de 2013). «Concurso de acertar el número más grande». Archivado desde el original el 20 de marzo de 2016. Consultado el 27 de marzo de 2014 .
3. Elga, Adam. «Campeonato de Grandes Números» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de julio de 2019. Consultado el 24 de marzo de 2014 .
4. Manzari, Mandana; Nick Semenkovich (31 de enero de 2007). "Profs Duke It Out in Big Number Duel". The Tech . Consultado el 24 de marzo de 2014 .
5. Rayo, Agustín. "Duelo de grandes números" . Consultado el 24 de marzo de 2014 .