Modelo de Hodgkin-Huxley

Describe cómo las neuronas transmiten señales eléctricas.

"Componentes básicos de los modelos tipo Hodgkin-Huxley que representan las características biofísicas de las membranas celulares ". La bicapa lipídica se representa como una capacitancia ( C _m ). Los canales de iones activados por voltaje y de fuga están representados por conductancias no lineales ( g _n ) y lineales ( g _{L ), respectivamente.} Los gradientes electroquímicos que impulsan el flujo de iones están representados por baterías (E), y las bombas e intercambiadores de iones están representados por fuentes de corriente ( I _p ).

El modelo de Hodgkin-Huxley , o modelo basado en la conductancia , es un modelo matemático que describe cómo se inician y propagan los potenciales de acción en las neuronas . Es un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales que aproxima las características de ingeniería eléctrica de células excitables como neuronas y células musculares . Es un sistema dinámico de tiempo continuo .

Alan Hodgkin y Andrew Huxley describieron el modelo en 1952 para explicar los mecanismos iónicos subyacentes al inicio y propagación de potenciales de acción en el axón gigante del calamar . ^[1] Recibieron el Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1963 por este trabajo.

Componentes básicos

El modelo típico de Hodgkin-Huxley trata cada componente de una célula excitable como un elemento eléctrico (como se muestra en la figura). La bicapa lipídica se representa como una capacitancia (C _m ). Los canales iónicos dependientes de voltaje están representados por conductancias eléctricas ( g _n , donde n es el canal iónico específico) que dependen tanto del voltaje como del tiempo. Los canales de fuga están representados por conductancias lineales ( g _L ). Los gradientes electroquímicos que impulsan el flujo de iones están representados por fuentes de voltaje ( E _n ) cuyos voltajes están determinados por la relación entre las concentraciones intra y extracelulares de las especies iónicas de interés. Finalmente, las bombas de iones están representadas por fuentes de corriente ( I _p ). ^{[ se necesita aclaración ]} El potencial de membrana se denota por V _m .

Matemáticamente, la corriente que fluye a través de la bicapa lipídica se escribe como

${\displaystyle I_{c}=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}}$

y la corriente a través de un canal iónico determinado es el producto de la conductancia de ese canal y el potencial impulsor del ion específico.

${\displaystyle I_{i}={g_{i}}(V_{m}-V_{i})\;}$

¿ Dónde está el potencial de inversión del canal iónico específico? Así, para una célula con canales de sodio y potasio, la corriente total a través de la membrana viene dada por: ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+g_{K}(V_{m}-V_{K})+g_{Na}(V_{m}-V_{Na})+g_{l}(V_{m}-V_{l})}$

donde I es la corriente total de membrana por unidad de área, C _m es la capacitancia de membrana por unidad de área, g _K y g _Na son las conductancias de potasio y sodio por unidad de área, respectivamente, V _K y V _Na son los potenciales de inversión de potasio y sodio. , respectivamente, y g _l y V _l son la conductancia de fuga por unidad de área y el potencial de inversión de fuga, respectivamente. Los elementos dependientes del tiempo de esta ecuación son V _m , g _Na y g _K , donde las dos últimas conductancias también dependen explícitamente del voltaje de la membrana ( V _{m ).}

Caracterización de la corriente iónica.

En los canales iónicos dependientes de voltaje, la conductancia del canal es una función tanto del tiempo como del voltaje ( en la figura), mientras que en los canales de fuga es una constante ( en la figura). La corriente generada por las bombas de iones depende de las especies iónicas específicas de esa bomba. Las siguientes secciones describirán estas formulaciones con más detalle. ${\displaystyle g_{n}(t,V)}$ ${\displaystyle g_{l}}$ ${\displaystyle g_{L}}$

Canales iónicos dependientes de voltaje

Utilizando una serie de experimentos de fijación de voltaje y variando las concentraciones extracelulares de sodio y potasio, Hodgkin y Huxley desarrollaron un modelo en el que las propiedades de una célula excitable se describen mediante un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias . ^[1] Junto con la ecuación para la corriente total mencionada anteriormente, estas son:

${\displaystyle I=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+{\bar {g}}_{\text{K}}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar {g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na})+{\bar {g}}_{l}(V_{m}-V_{l}),}$

${\displaystyle {\frac {dn}{dt}}=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m}$

${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h}$

donde I es la corriente por unidad de área y son constantes de velocidad para el i -ésimo canal iónico, que dependen del voltaje pero no del tiempo. es el valor máximo de la conductancia. n , m y h son probabilidades adimensionales entre 0 y 1 que están asociadas con la activación de la subunidad del canal de potasio , la activación de la subunidad del canal de sodio y la inactivación de la subunidad del canal de sodio, respectivamente. Por ejemplo, dado que los canales de potasio en el axón gigante del calamar están formados por cuatro subunidades que deben estar en estado abierto para que el canal permita el paso de iones de potasio, la n debe elevarse a la cuarta potencia. Para y toma la forma ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$ ${\displaystyle p=(n,m,h)}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle \beta _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(V_{m})=p_{\infty }(V_{m})/\tau _{p}}$

${\displaystyle \beta _{p}(V_{m})=(1-p_{\infty }(V_{m}))/\tau _{p}.}$

${\displaystyle p_{\infty }}$y son los valores de estado estacionario para activación e inactivación, respectivamente, y generalmente se representan mediante ecuaciones de Boltzmann como funciones de . En el artículo original de Hodgkin y Huxley, ^[1] las funciones y están dadas por ${\displaystyle (1-p_{\infty })}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha _{n}(V_{m})={\frac {0.01(10-V)}{\exp {\big (}{\frac {10-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{m}(V_{m})={\frac {0.1(25-V)}{\exp {\big (}{\frac {25-V}{10}}{\big )}-1}}&\alpha _{h}(V_{m})=0.07\exp {\bigg (}-{\frac {V}{20}}{\bigg )}\\\beta _{n}(V_{m})=0.125\exp {\bigg (}-{\frac {V}{80}}{\bigg )}&\beta _{m}(V_{m})=4\exp {\bigg (}-{\frac {V}{18}}{\bigg )}&\beta _{h}(V_{m})={\frac {1}{\exp {\big (}{\frac {30-V}{10}}{\big )}+1}}\end{array}}}$

donde denota la despolarización negativa en mV. ${\displaystyle V=V_{rest}-V_{m}}$

En muchos programas de software actuales ^[2] los modelos tipo Hodgkin-Huxley generalizan y ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {A_{p}(V_{m}-B_{p})}{\exp {\big (}{\frac {V_{m}-B_{p}}{C_{p}}}{\big )}-D_{p}}}}$

Para caracterizar canales dependientes de voltaje, las ecuaciones se pueden ajustar a los datos de fijación de voltaje. Para obtener una derivación de las ecuaciones de Hodgkin-Huxley bajo abrazadera de voltaje, consulte. ^[3] Brevemente, cuando el potencial de membrana se mantiene en un valor constante (es decir, con una abrazadera de voltaje), para cada valor del potencial de membrana las ecuaciones de activación no lineales se reducen a ecuaciones de la forma:

${\displaystyle m(t)=m_{0}-[(m_{0}-m_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{m}})]\,}$

${\displaystyle h(t)=h_{0}-[(h_{0}-h_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{h}})]\,}$

${\displaystyle n(t)=n_{0}-[(n_{0}-n_{\infty })(1-e^{-t/\tau _{n}})]\,}$

Por tanto, para cada valor del potencial de membrana, las corrientes de sodio y potasio pueden describirse mediante ${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle I_{\mathrm {Na} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {Na} }m(V_{m})^{3}h(V_{m})(V_{m}-E_{\mathrm {Na} }),}$

${\displaystyle I_{\mathrm {K} }(t)={\bar {g}}_{\mathrm {K} }n(V_{m})^{4}(V_{m}-E_{\mathrm {K} }).}$

Para llegar a la solución completa para un potencial de acción propagado, se debe escribir el término actual I en el lado izquierdo de la primera ecuación diferencial en términos de V , de modo que la ecuación se convierta en una ecuación para voltaje únicamente. La relación entre I y V se puede derivar de la teoría del cable y está dada por

${\displaystyle I={\frac {a}{2R}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},}$

donde a es el radio del axón , R es la resistencia específica del axoplasma y x es la posición a lo largo de la fibra nerviosa. La sustitución de I por esta expresión transforma el conjunto original de ecuaciones en un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales , porque el voltaje se convierte en una función tanto de x como de t .

El algoritmo de Levenberg-Marquardt se utiliza a menudo para ajustar estas ecuaciones a los datos de fijación de voltaje. ^[4]

Si bien los experimentos originales involucraron solo canales de sodio y potasio, el modelo de Hodgkin-Huxley también puede ampliarse para tener en cuenta otras especies de canales iónicos .

Canales de fuga

Los canales de fuga representan la permeabilidad natural de la membrana a los iones y toman la forma de la ecuación de los canales dependientes de voltaje, donde la conductancia es constante. Por tanto, la corriente de fuga debida a canales iónicos de fuga pasiva en el formalismo de Hodgkin-Huxley es . ${\displaystyle g_{leak}}$ ${\displaystyle I_{l}=g_{leak}(V-V_{leak})}$

Bombas e intercambiadores

El potencial de membrana depende del mantenimiento de gradientes de concentración iónica a través de ella. El mantenimiento de estos gradientes de concentración requiere el transporte activo de especies iónicas. Los intercambiadores de sodio-potasio y sodio-calcio son los más conocidos. Algunas de las propiedades básicas del intercambiador Na/Ca ya han sido bien establecidas: la estequiometría del intercambio es 3 Na ⁺ : 1 Ca ²⁺ y el intercambiador es electrogénico y sensible al voltaje. También se ha descrito en detalle el intercambiador Na/K, con una estequiometría 3 Na ⁺ : 2 K ⁺ . ^{[5] [6]}

Propiedades matemáticas

El modelo de Hodgkin-Huxley puede considerarse como un sistema de ecuaciones diferenciales con cuatro variables de estado , y , que cambian con respecto al tiempo . El sistema es difícil de estudiar porque es un sistema no lineal , no puede resolverse analíticamente y, por lo tanto, no tiene solución de forma cerrada . Sin embargo, existen muchos métodos numéricos disponibles para analizar el sistema. Se puede demostrar que existen ciertas propiedades y comportamientos generales, como los ciclos límite . ${\displaystyle V_{m}(t),n(t),m(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle t}$

Una simulación del modelo de Hodgkin-Huxley en el espacio de fase, en términos de voltaje v(t) y variable de activación de potasio n(t). La curva cerrada se conoce como ciclo límite .

colector central

Debido a que hay cuatro variables de estado, visualizar la ruta en el espacio de fases puede resultar difícil. Por lo general, se eligen dos variables, el voltaje y la variable de activación del potasio , lo que permite visualizar el ciclo límite . Sin embargo, hay que tener cuidado porque se trata de un método ad hoc para visualizar el sistema de 4 dimensiones. Esto no prueba la existencia del ciclo límite. ${\displaystyle V_{m}(t)}$ ${\displaystyle n(t)}$

Se puede construir una mejor proyección a partir de un análisis cuidadoso del jacobiano del sistema, evaluado en el punto de equilibrio . Específicamente, los valores propios del jacobiano son indicativos de la existencia de la variedad central . Asimismo, los vectores propios del jacobiano revelan la orientación de la variedad central . El modelo de Hodgkin-Huxley tiene dos valores propios negativos y dos valores propios complejos con partes reales ligeramente positivas. Los vectores propios asociados con los dos valores propios negativos se reducirán a cero a medida que aumente el tiempo t . Los dos vectores propios complejos restantes definen la variedad central. En otras palabras, el sistema de 4 dimensiones colapsa en un plano de 2 dimensiones. Cualquier solución que comience en el colector central decaerá hacia el colector central. Además, el ciclo límite está contenido en el colector central.

El voltaje v ( t ) (en milivoltios) del modelo Hodgkin-Huxley, representado gráficamente durante 50 milisegundos. La corriente inyectada varía de -5 nanoamperios a 12 nanoamperios. El gráfico pasa por tres etapas: una etapa de equilibrio, una etapa de pico único y una etapa de ciclo límite.

Bifurcaciones

Si la corriente inyectada se utilizara como parámetro de bifurcación , entonces el modelo de Hodgkin-Huxley sufre una bifurcación de Hopf . Como ocurre con la mayoría de los modelos neuronales, aumentar la corriente inyectada aumentará la velocidad de activación de la neurona. Una consecuencia de la bifurcación de Hopf es que existe una tasa de disparo mínima. Esto significa que la neurona no se activa en absoluto (lo que corresponde a una frecuencia cero) o se activa a la velocidad mínima de activación. Debido al principio de todo o nada , no hay un aumento suave en la amplitud del potencial de acción , sino que hay un "salto" repentino en la amplitud. La transición resultante se conoce como bulo. ${\displaystyle I}$

Mejoras y modelos alternativos.

El modelo de Hodgkin-Huxley se considera uno de los grandes logros de la biofísica del siglo XX. Sin embargo, los modelos modernos de tipo Hodgkin-Huxley se han ampliado de varias maneras importantes:

• Se han incorporado poblaciones de canales iónicos adicionales basándose en datos experimentales.
• El modelo de Hodgkin-Huxley se ha modificado para incorporar la teoría del estado de transición y producir modelos termodinámicos de Hodgkin-Huxley. ^[7]
• Los modelos suelen incorporar geometrías muy complejas de dendritas y axones , a menudo basadas en datos de microscopía.
• Los modelos basados ​​en conductancia similares al modelo de Hodgkin-Huxley incorporan el conocimiento sobre los tipos de células definidos por la transcriptómica unicelular. ^[8]
• Modelos estocásticos de comportamiento de canales iónicos, que conducen a sistemas híbridos estocásticos. ^[9]
• El modelo de Poisson-Nernst-Planck (PNP) se basa en una aproximación de campo medio de las interacciones iónicas y descripciones continuas de concentración y potencial electrostático. ^[10]

También se han desarrollado varios modelos neuronales simplificados (como el modelo de FitzHugh-Nagumo ), que facilitan una simulación eficiente a gran escala de grupos de neuronas, así como una visión matemática de la dinámica de generación del potencial de acción.

Ver también

• Excitación de rotura de ánodo
• Onda automática
• circuito neuronal
• Modelo Galves-Löcherbach
• Ecuación de flujo de GHK
• ecuación de goldman
• memristor
• Acomodación neuronal
• Reacción-difusión
• modelo theta
• mapa de Rulkov
• Mapa de Chialvo

Referencias

1. Hodgkin AL, Huxley AF (agosto de 1952). "Una descripción cuantitativa de la corriente de membrana y su aplicación a la conducción y excitación en los nervios". La Revista de Fisiología . 117 (4): 500–44. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004764. PMC  1392413 . PMID  12991237.
2. Nelson ME (2005) Modelos electrofisiológicos en: Bases de datos del cerebro: de los datos al conocimiento. (S. Koslow y S. Subramaniam, eds.) Wiley, Nueva York, págs. 285–301
3. DJ gris, Wu SM (1997). Fundamentos de la neurofisiología celular (3ª ed.). Cambridge, Massachusetts [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-10053-3.
4. Krapivin, Vladimir F.; Varotsos, Costas A.; Soldatov, Vladimir Yu. (2015). Nuevas herramientas ecoinformáticas en ciencias ambientales: aplicaciones y toma de decisiones. Saltador. págs. 37–38. ISBN 9783319139784.
5. Rakowski RF, Gadsby DC, De Weer P (mayo de 1989). "Estequiometría y dependencia del voltaje de la bomba de sodio en el axón gigante de calamar dializado internamente y sujeto por voltaje". La Revista de Fisiología General . 93 (5): 903–41. doi :10.1085/jgp.93.5.903. PMC 2216238 . PMID  2544655. 
6. Hille B (2001). Canales iónicos de membranas excitables (3ª ed.). Sunderland, Massachusetts: Sinauer. ISBN 978-0-87893-321-1.
7. Forrest, MD (mayo de 2014). "¿Se puede extrapolar la temperatura el modelo termodinámico de Hodgkin-Huxley de conductancia dependiente del voltaje?" (PDF) . Computación . 2 (2): 47–60. doi : 10.3390/cómputo2020047 .
8. Nandi, Anirban; Chartrand, Thomas; Van Geit, Werner; Buchin, Anatoly; Yao, Zizhen; Lee, Soo Yeun; Wei, Yina; Kalmbach, Brian; Lee, Brian; Leín, Ed; Berg, Jim; Sümbül, uigar; Koch, Christof; Tasic, Bosiljka; Anastassiou, Costas A. (9 de agosto de 2022). "Modelos de una sola neurona que vinculan la electrofisiología, la morfología y la transcriptómica entre tipos de células corticales". Informes celulares . 40 (6): 111176. doi : 10.1016/j.celrep.2022.111176 . ISSN  2211-1247. PMC 9793758 . PMID  35947954. S2CID  215790820. 
9. Pakdaman, K.; Thieullen, M.; Wainrib, G. (2010). "Teoremas de límite de fluidos para sistemas híbridos estocásticos con aplicaciones a modelos neuronales". Adv. Aplica. Probablemente . 42 (3): 761–794. arXiv : 1001.2474 . Código Bib : 2010arXiv1001.2474P. doi : 10.1239/aap/1282924062. S2CID  18894661.
10. Zheng, Q.; Wei, GW (mayo de 2011). "Modelo de Poisson-Boltzmann-Nernst-Planck". Revista de Física Química . 134 (19): 194101. Código bibliográfico : 2011JChPh.134s4101Z. doi : 10.1063/1.3581031. PMC 3122111 . PMID  21599038. 

Otras lecturas

• Hodgkin AL, Huxley AF (abril de 1952). "Corrientes transportadas por iones de sodio y potasio a través de la membrana del axón gigante de Loligo". La Revista de Fisiología . 116 (4): 449–72. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004717. PMC  1392213 . PMID  14946713.
• Hodgkin AL, Huxley AF (abril de 1952). "Los componentes de la conductancia de membrana en el axón gigante de Loligo". La Revista de Fisiología . 116 (4): 473–96. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004718. PMC  1392209 . PMID  14946714.
• Hodgkin AL, Huxley AF (abril de 1952). "El doble efecto del potencial de membrana sobre la conductancia del sodio en el axón gigante de Loligo". La Revista de Fisiología . 116 (4): 497–506. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004719. PMC  1392212 . PMID  14946715.
• Hodgkin AL, Huxley AF (agosto de 1952). "Una descripción cuantitativa de la corriente de membrana y su aplicación a la conducción y excitación en los nervios". La Revista de Fisiología . 117 (4): 500–44. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004764. PMC  1392413 . PMID  12991237.
• Hodgkin AL, Huxley AF, Katz B (abril de 1952). "Medición de las relaciones corriente-voltaje en la membrana del axón gigante de Loligo". La Revista de Fisiología . 116 (4): 424–48. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004716. PMC  1392219 . PMID  14946712.

enlaces externos

• Simulación interactiva de JavaScript del modelo HH. Se ejecuta en cualquier navegador compatible con HTML5. Permite cambiar los parámetros del modelo y la inyección actual.
• Subprograma Java interactivo del modelo HH. Se pueden cambiar los parámetros del modelo, así como los parámetros de excitación y los gráficos del espacio de fase de todas las variables.
• Enlace directo al modelo Hodgkin-Huxley y una descripción en la base de datos BioModels
• Impulsos neuronales: el potencial de acción en acción por Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project
• Modelo interactivo de Hodgkin-Huxley por Shimon Marom, The Wolfram Demonstrations Project
• ModelDB Una base de datos de código fuente de neurociencia computacional que contiene 4 versiones (en diferentes simuladores) del modelo original de Hodgkin-Huxley y cientos de modelos que aplican el modelo de Hodgkin-Huxley a otros canales en muchos tipos de células eléctricamente excitables.
• Varios artículos sobre la versión estocástica del modelo y su vinculación con el original.