Lema del incremento fundamental

En el cálculo diferencial de una variable , el lema del incremento fundamental es una consecuencia inmediata de la definición de la derivada de una función en un punto : ${\textstyle f'(a)}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

El lema afirma que la existencia de esta derivada implica la existencia de una función tal que ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}$

Para valores suficientemente pequeños pero distintos de cero . Para demostrarlo, basta con definir ${\textstyle h}$

${\displaystyle \varphi (h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}-f'(a)}$

y verificar que cumple con los requisitos. ${\displaystyle \varphi }$

El lema dice, al menos cuando está suficientemente cerca de cero, que el cociente de diferencias ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

puede escribirse como la derivada f' más un término de error que se desvanece en . ${\displaystyle \varphi (h)}$ ${\displaystyle h=0}$

Es decir, uno tiene,

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)+\varphi (h).}$

Diferenciabilidad en dimensiones superiores

Como la existencia de caracteriza de manera única al número , se puede decir que el lema del incremento fundamental caracteriza la diferenciabilidad de funciones de una sola variable. Por esta razón, se puede utilizar una generalización del lema en la definición de diferenciabilidad en el cálculo multivariable . En particular, supongamos que f mapea algún subconjunto de a . Entonces se dice que f es diferenciable en a si hay una función lineal ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

y una función

${\displaystyle \Phi :D\to \mathbb {R} ,\qquad D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{\mathbf {0} \},}$

de tal manera que

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}\Phi (\mathbf {h} )=0\qquad {\text{and}}\qquad f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=M(\mathbf {h} )+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

para h no nula suficientemente próxima a 0. En este caso, M es la única derivada (o derivada total , para distinguirla de las derivadas direccionales y parciales ) de f en a . En particular, M viene dada por la matriz jacobiana de f evaluada en a .

Podemos escribir la ecuación anterior en términos de las derivadas parciales como ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(a)}{\partial x_{i}}}+\Phi (\mathbf {h} )\cdot \Vert \mathbf {h} \Vert }$

Véase también

• Generalizaciones de la derivada

Referencias

• Talman, Louis (12 de septiembre de 2007). "Diferenciabilidad para funciones multivariables" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de junio de 2010. Consultado el 28 de junio de 2012 .
• Stewart, James (2008). Cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning. pág. 942. ISBN 978-0538498845.
• Folland, Gerald. "Derivadas y aproximación lineal" (PDF) .