El juego de Penney , llamado así por su inventor Walter Penney, es un juego de generación de secuencias binarias (cara/cruz) entre dos jugadores. El jugador A selecciona una secuencia de caras y cruces (de longitud 3 o mayor) y muestra esta secuencia al jugador B. El jugador B selecciona luego otra secuencia de caras y cruces de la misma longitud. Posteriormente, se lanza una moneda justa hasta que la secuencia del jugador A o del jugador B aparezca como una subsecuencia consecutiva de los resultados del lanzamiento de la moneda. El jugador cuya secuencia aparezca primero gana.
Si se utilizan secuencias de al menos tres longitudes, el segundo jugador (B) tiene ventaja sobre el jugador inicial (A). Esto se debe a que el juego no es transitivo , de modo que para cualquier secuencia dada de tres o más longitudes, se puede encontrar otra secuencia que tenga mayor probabilidad de ocurrir primero.
Para el juego de secuencia de tres bits , el segundo jugador puede optimizar sus probabilidades eligiendo secuencias de acuerdo con:
Una forma fácil de recordar la secuencia es que el segundo jugador comience con el opuesto de la opción del medio del primer jugador y luego continúe con las dos primeras opciones del primer jugador.
donde (no-2) es el opuesto de la segunda opción del primer jugador.
Una explicación intuitiva de este resultado es que, en cualquier caso en que la secuencia no sea la opción inmediata del primer jugador, las probabilidades de que el primer jugador obtenga el comienzo de su secuencia, las dos primeras opciones, suelen ser las mismas que las de que el segundo jugador obtenga la secuencia completa. Por lo tanto, lo más probable es que el segundo jugador "termine antes" que el primero.
La estrategia óptima para el primer jugador (para cualquier longitud de la secuencia no inferior a 4) fue encontrada por JA Csirik (ver Referencias). Es elegir HTTTT.....TTTHH ( T's) en cuyo caso las probabilidades máximas de ganar del segundo jugador son .
Una variación sugerida del juego de Penney utiliza un mazo de cartas de juego comunes. El juego de aleatoriedad de Humble-Nishiyama sigue el mismo formato utilizando cartas rojas y negras, en lugar de cara y cruz. [2] [3] El juego se juega de la siguiente manera. Al comienzo de una partida, cada jugador decide su secuencia de tres colores para todo el juego. Luego, las cartas se dan vuelta una a la vez y se colocan en una línea, hasta que aparece uno de los triples elegidos. El jugador ganador toma las cartas boca arriba, habiendo ganado esa "baza". El juego continúa con el resto de las cartas sin usar, y los jugadores recogen bazas a medida que aparecen sus triples, hasta que se hayan usado todas las cartas del mazo. El ganador del juego es el jugador que ha ganado la mayor cantidad de bazas. Una partida promedio constará de alrededor de 7 "bazas". Como esta versión basada en cartas es bastante similar a múltiples repeticiones del juego de monedas original, la ventaja del segundo jugador se amplifica enormemente. Las probabilidades son ligeramente diferentes porque las probabilidades de cada lanzamiento de moneda son independientes , mientras que las probabilidades de sacar una carta roja o negra cada vez dependen de los lanzamientos anteriores. Tenga en cuenta que HHT es favorito 2:1 sobre HTH y HTT, pero las probabilidades son diferentes para BBR sobre BRB y BRR.
A continuación se presentan las probabilidades aproximadas de los resultados de cada estrategia basadas en simulaciones por computadora: [4]
Si el juego termina después de la primera baza, la probabilidad de empate es insignificante. Las probabilidades de que gane el segundo jugador en un juego de este tipo aparecen en la tabla siguiente.
Recientemente, Robert W. Vallin, y más tarde Vallin y Aaron M. Montgomery, presentaron resultados con el juego de Penney aplicado a la ruleta (americana) con jugadores que eligen Rojo/Negro en lugar de Cara/Cruz. En esta situación, la probabilidad de que la bola caiga en rojo o negro es de 9/19 y el 1/19 restante es la probabilidad de que la bola caiga en verde para los números 0 y 00. Hay varias formas de interpretar el verde: (1) como un "comodín" para que BGR pueda leerse en Negro, Negro, Rojo y Negro, Rojo, Rojo, (2) como una repetición, el juego se detiene cuando aparece el verde y se reinicia con el siguiente giro, (3) como tal, sin interpretación adicional. Los resultados se han calculado para probabilidades y tiempos de espera. [5]
