La regla de Cromwell , nombrada por el estadístico Dennis Lindley , [1] establece que se debe evitar el uso de probabilidades previas de 1 ("el evento definitivamente ocurrirá") o 0 ("el evento definitivamente no ocurrirá"), excepto cuando se aplica a afirmaciones que son lógicamente verdaderas o falsas, como 2 + 2 igual a 4.
La referencia es a Oliver Cromwell , quien escribió a la Asamblea General de la Iglesia de Escocia el 3 de agosto de 1650, poco antes de la Batalla de Dunbar , incluyendo una frase que se ha vuelto muy conocida y frecuentemente citada: [2]
Os ruego, en las entrañas de Cristo, que penséis que es posible que estéis equivocados.
Como dice Lindley, asignar una probabilidad debería "dejar una pequeña probabilidad de que la luna esté hecha de queso verde ; puede ser tan pequeña como 1 en un millón, pero manténgala allí porque de lo contrario un ejército de astronautas que regrese con muestras de dicho queso lo dejará impasible". [3] De manera similar, al evaluar la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara o cruz hacia arriba, existe la posibilidad, aunque remota, de que la moneda caiga de canto y permanezca en esa posición.
Si la probabilidad previa asignada a una hipótesis es 0 o 1, entonces, por el teorema de Bayes , la probabilidad posterior (probabilidad de la hipótesis, dada la evidencia) se ve obligada a ser también 0 o 1; ninguna evidencia, por fuerte que sea, podría tener influencia alguna.
Una versión reforzada de la regla de Cromwell, que se aplica también a enunciados aritméticos y lógicos, altera la primera regla de probabilidad, o regla de convexidad, 0 ≤ Pr( A ) ≤ 1, a 0 < Pr( A ) < 1.
Un ejemplo de divergencia bayesiana de opiniones se basa en el Apéndice A del libro de Sharon Bertsch McGrayne de 2011. [4] Tim y Susan no están de acuerdo sobre si un extraño que tiene dos monedas justas y una moneda injusta (una con caras en ambos lados) ha lanzado una de las dos monedas justas o la injusta; el extraño ha lanzado una de sus monedas tres veces y ha salido cara cada vez.
Tim supone que el extraño escogió la moneda al azar, es decir, supone una distribución de probabilidad previa en la que cada moneda tenía una probabilidad de 1/3 de ser la elegida. Aplicando la inferencia bayesiana , Tim calcula una probabilidad del 80% de que el resultado de tres caras consecutivas se haya logrado usando la moneda injusta, porque cada una de las monedas justas tenía una probabilidad de 1/8 de dar tres caras seguidas, mientras que la moneda injusta tenía una probabilidad de 8/8; de 24 posibilidades igualmente probables de lo que podría suceder, 8 de las 10 que concuerdan con las observaciones provienen de la moneda injusta. Si se realizan más lanzamientos, cada cara adicional aumenta la probabilidad de que la moneda sea la injusta. Si nunca aparece cruz, esta probabilidad converge a 1. Pero si alguna vez aparece cruz, la probabilidad de que la moneda sea injusta pasa inmediatamente a 0 y permanece en 0 permanentemente.
Susan supone que el extraño eligió una moneda justa (por lo que la probabilidad previa de que la moneda lanzada sea la moneda injusta es 0). En consecuencia, Susan calcula que la probabilidad de que se hayan lanzado tres (o cualquier número de caras consecutivas) con la moneda injusta debe ser 0; si se lanzan aún más caras, Susan no cambia su probabilidad. Las probabilidades de Tim y Susan no convergen a medida que se lanzan más y más caras.
Un ejemplo de convergencia bayesiana de opiniones se encuentra en el libro de Nate Silver de 2012 The Signal and the Noise: Why so many predictions fail – but some don't [La señal y el ruido: por qué tantas predicciones fallan, pero algunas no ]. [5] Después de afirmar que "no se logra absolutamente nada útil cuando una persona que sostiene que hay un 0 (cero) por ciento de probabilidad de algo argumenta contra otra persona que sostiene que la probabilidad es del 100 por ciento", Silver describe una simulación con un mercado de valores con un 60% de probabilidad de aumento en el que tres inversores comienzan con conjeturas iniciales de 10%, 50% y 90% de que el mercado de valores está en un mercado alcista. Al final de la simulación (mostrada en un gráfico), "todos los inversores concluyen que están en un mercado alcista con casi (aunque no exactamente, por supuesto) un 100 por ciento de certeza".