En matemáticas , una pseudovariedad es un tipo especial de espacio topológico . Parece una variedad en la mayoría de sus puntos, pero puede contener singularidades . Por ejemplo, el cono de soluciones de forma una pseudovariedad.
Figura 1: Un toro pellizcado
Una pseudovariedad puede considerarse como una realización combinatoria de la idea general de una variedad con singularidades. Los conceptos de orientabilidad , orientación y grado de mapeo tienen sentido para las pseudovariedades y, además, dentro del enfoque combinatorio, las pseudovariedades forman el dominio natural de definición de estos conceptos. [1] [2]
Definición
Un espacio topológico X dotado de una triangulación K es una pseudovariedad n -dimensional si se cumplen las siguientes condiciones: [3]
( puro ) X = | k | es la unión de todos los n - simples .
Cada ( n –1 ) -símplex es una cara de exactamente uno o dos n -símplices para n > 1 .
Para cada par de n -símplices σ y σ' en K , hay una secuencia de n -símplices σ = σ 0 , σ 1 , ..., σ k = σ' tal que la intersección σ i ∩ σ i +1 es un ( n −1 ) -símplejo para todo i = 0, ..., k −1.
La condición 3 significa que X es un complejo simplicial fuertemente conexo . [4]
Si requerimos que la Condición 2 se cumpla solo para ( n −1 ) -simplex en secuencias de n -simplex en la Condición 3, obtenemos una definición equivalente solo para n = 2. Para n≥3 hay ejemplos de no pseudovariedades combinatorias que están fuertemente conectadas a través de secuencias de n -simplex que satisfacen la Condición 2. [5]
Descomposición
Los n-complejos fuertemente conectados siempre se pueden ensamblar a partir de n -simplex pegando solo dos de ellos en ( n −1)-simplex . Sin embargo, en general, la construcción mediante encolado puede conducir a una falta de pseudovariedad (ver Figura 2).
Figura 2: Pegar un colector a lo largo de sus bordes (en verde) puede crear bordes que no sean pseudocolectores (en rojo). Es posible una descomposición cortando (en azul) en un borde singular
Sin embargo, siempre es posible descomponer una superficie no pseudovariedad en partes múltiples cortando solo en bordes y vértices singulares (ver Figura 2 en azul). Para algunas superficies son posibles varias opciones no equivalentes (ver Figura 3).
Figura 3: La superficie no pseudocolectora de la izquierda se puede descomponer en un colector orientable (central) o en uno no orientable (a la derecha).
Por otro lado, en una dimensión superior, para n>2, la situación se vuelve bastante complicada.
En general, para n≥3, n-pseudovariedades no se pueden descomponer en partes múltiples solo cortando en singularidades (ver Figura 4).
Figura 4: Dos pseudovariedades de 3 con singularidades (en rojo) que no se pueden dividir en partes múltiples solo cortando las singularidades.
Para n≥3, hay n-complejos que no se pueden descomponer, ni siquiera en partes pseudovariedades, sólo cortando en singularidades. [5]
Definiciones relacionadas
Una pseudovariedad se llama normal si el enlace de cada simplex con codimensión ≥ 2 es una pseudovariedad.
(Tenga en cuenta que las variedades algebraicas reales no siempre son pseudovariedades, ya que sus singularidades pueden ser de codimensión 1, tome xy=0, por ejemplo).
Los complejos obtenidos pegando dos 4-símplices en un tetraedro común son un superconjunto adecuado de 4-pseudovariedades utilizadas en la formulación de espuma de espín de gravedad cuántica de bucles . [6]
Los n-complejos combinatorios definidos pegando dos n -simplex en una cara (n-1) no siempre son n-pseudovariedades. El pegado puede inducir la no pseudovariedad. [5]
^ Seifert, H.; Threlfall, W. (1980), Libro de texto de topología , Academic Press Inc., ISBN 0-12-634850-2
^ Spanier, H. (1966), Topología algebraica , McGraw-Hill Education, ISBN0-07-059883-5
^ ab Brasselet, JP (1996). "Intersección de ciclos algebraicos". Revista de Ciencias Matemáticas . 82 (5). Springer Nueva York: 3625–3632. doi :10.1007/bf02362566. S2CID 122992009.
^ abc F. Morando. Descomposición y modelado en el dominio no múltiple (Doctor). págs. 139-142. arXiv : 1904.00306v1 .
^ Báez, John C; Christensen, J Daniel; Halford, Thomas R; Tsang, David C (22 de agosto de 2002). "Modelos de espuma giratoria de gravedad cuántica de Riemann". Gravedad clásica y cuántica . 19 (18). Publicación del PIO: 4627–4648. arXiv : gr-qc/0202017 . doi :10.1088/0264-9381/19/18/301. ISSN 0264-9381.
