Algoritmo de recurrencia de Miller

Procedimiento para calcular una solución rápidamente decreciente de una relación de recurrencia lineal

El algoritmo de recurrencia de Miller es un procedimiento para calcular una solución rápidamente decreciente de una relación de recurrencia lineal desarrollado por JCP Miller . ^[1] Fue desarrollado originalmente para calcular tablas de la función de Bessel modificada ^[2] pero también se aplica a funciones de Bessel del primer tipo y tiene otras aplicaciones como el cálculo de los coeficientes de las expansiones de Chebyshev de otras funciones especiales. ^[3]

Muchas familias de funciones especiales satisfacen una relación de recurrencia que relaciona los valores de las funciones de diferentes órdenes con argumento común . ${\displaystyle x}$

Las funciones de Bessel modificadas del primer tipo satisfacen la relación de recurrencia ${\displaystyle I_{n}(x)}$

${\displaystyle I_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}I_{n}(x)+I_{n+1}(x)}$.

Sin embargo, las funciones de Bessel modificadas del segundo tipo también satisfacen la misma relación de recurrencia. ${\displaystyle K_{n}(x)}$

${\displaystyle K_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}K_{n}(x)+K_{n+1}(x)}$.

La primera solución disminuye rápidamente con . La segunda solución aumenta rápidamente con . El algoritmo de Miller proporciona un procedimiento numéricamente estable para obtener la solución decreciente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Para calcular los términos de una recurrencia a través de según el algoritmo de Miller, primero se elige un valor mucho mayor que y se calcula una solución de prueba que toma la condición inicial como un valor arbitrario distinto de cero (como 1) y toma los términos y posteriores como cero. Luego, la relación de recurrencia se utiliza para calcular sucesivamente los valores de prueba para , hasta . Teniendo en cuenta que una segunda secuencia obtenida a partir de la secuencia de prueba mediante la multiplicación por un factor de normalización constante seguirá satisfaciendo la misma relación de recurrencia, se puede aplicar una relación de normalización separada para determinar el factor de normalización que produce la solución real. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{N}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a_{M}}$ ${\displaystyle a_{M+1}}$ ${\displaystyle a_{M-1}}$ ${\displaystyle a_{M-2}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

En el ejemplo de las funciones de Bessel modificadas, una relación normalizadora adecuada es una suma que involucra los términos pares de la recurrencia:

${\displaystyle I_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}I_{2m}(x)=1}$

donde la suma infinita se vuelve finita debido a la aproximación de que y los términos posteriores son cero. ${\displaystyle a_{M+1}}$

Finalmente, se confirma que el error de aproximación del procedimiento es aceptable al repetir el procedimiento con una segunda opción mayor que la opción inicial y confirmar que el segundo conjunto de resultados para a través de concuerda con el primer conjunto dentro de la tolerancia deseada. Nótese que para obtener esta concordancia, el valor de debe ser lo suficientemente grande como para que el término sea pequeño en comparación con la tolerancia deseada. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{N}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{M}}$

A diferencia del algoritmo de Miller, los intentos de aplicar la relación de recurrencia en la dirección hacia adelante a partir de valores conocidos de y obtenidos por otros métodos fallarán ya que los errores de redondeo introducen componentes de la solución que aumenta rápidamente. ^[4] ${\displaystyle I_{0}(x)}$ ${\displaystyle I_{1}(x)}$

Olver ^[2] y Gautschi ^[5] analizan en detalle la propagación de errores del algoritmo.

Para las funciones de Bessel del primer tipo, la relación de recurrencia equivalente y la relación de normalización son: ^[6]

${\displaystyle J_{n-1}(x)={\frac {2n}{x}}J_{n}(x)-J_{n+1}(x)}$

${\displaystyle J_{0}(x)+2\sum _{m=1}^{\infty }J_{2m}(x)=1}$.

El algoritmo es particularmente eficiente en aplicaciones que requieren los valores de las funciones de Bessel para todos los órdenes de cada valor en comparación con los cálculos independientes directos de funciones separadas. ${\displaystyle 0\cdots N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N+1}$

Referencias

1. Bickley, WG; Comrie, LJ; Sadler, DH; Miller, JCP; Thompson, AJ (1952). Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, Tablas Matemáticas, vol. X, Funciones de Bessel, parte II, Funciones de orden entero positivo . Cambridge University Press. ISBN  978-0521043212., citado en Olver (1964)
2. Olver, FWJ (1964). "Análisis de errores del algoritmo de recurrencia de Miller". Math. Comp . 18 (85): 65–74. doi :10.2307/2003406. JSTOR  2003406.
3. Németh, G. (1965). "Expansiones de Chebyshev para integrales de Fresnel". Numer. Math . 7 (4): 310–312. doi :10.1007/BF01436524.
4. Hart, JF (1978). Aproximaciones por computadora (edición reimpresa). Malabar, Florida: Robert E. Krieger. págs. 25-26. ISBN  978-0-88275-642-4.
5. Gautschi, Walter (1967). "Aspectos computacionales de relaciones de recurrencia de tres términos" (PDF) . SIAM Review . 9 : 24–82. doi :10.1137/1009002.
6. Arfken, George (1985). Métodos matemáticos para físicos (3.ª ed.). Academic Press. pág. 576. ISBN  978-0-12-059820-5.