Ecuación general de transferencia de calor

Producción de entropía en fluidos newtonianos

En dinámica de fluidos , la ecuación general de transferencia de calor es una ecuación diferencial parcial no lineal que describe la producción de entropía específica en un fluido newtoniano sujeto a conducción térmica y fuerzas viscosas : ^{[1] [2]}

${\displaystyle \underbrace {\rho T{Ds \over {Dt}}} _{\text{Heat Gain}}=\underbrace {\nabla \cdot (\kappa \nabla T)} _{\text{Thermal Conduction}}+\underbrace {{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}} _{\text{Viscous Dissipation}}}$

donde es la entropía específica, es la densidad del fluido , es la temperatura del fluido , es la derivada del material , es la conductividad térmica , es la viscosidad dinámica , es el segundo parámetro de Lamé , es la velocidad de flujo , es el operador del utilizado para caracterizar el gradiente y la divergencia , y es el delta de Kronecker . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle D/Dt}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Si la velocidad del flujo es despreciable, la ecuación general de transferencia de calor se reduce a la ecuación de calor estándar . También puede extenderse a flujos estratificados rotatorios , como los que se encuentran en la dinámica de fluidos geofísicos . ^[3]

Derivación

Ampliación de la ecuación de energía del fluido ideal

Para un fluido viscoso newtoniano, las ecuaciones que rigen la conservación de la masa y la conservación del momento son la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes : donde es la presión y es el tensor de tensión viscosa , con los componentes del tensor de tensión viscosa dados por: La energía de una unidad de volumen del fluido es la suma de la energía cinética y la energía interna , donde es la energía interna específica. En un fluido ideal, como se describe en las ecuaciones de Euler , la conservación de la energía se define por la ecuación: donde es la entalpía específica . Sin embargo, para que la conservación de la energía se mantenga en un fluido viscoso sujeto a conducción térmica, el flujo de energía debido a la advección debe complementarse con un flujo de calor dado por la ley de Fourier y un flujo debido a la fricción interna . Entonces, la ecuación general para la conservación de la energía es: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\\rho {D{\bf {v}} \over {Dt}}&=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)+\zeta \delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}}$$ ${\displaystyle \rho v^{2}/2\equiv \rho k}$ ${\displaystyle \rho \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)\right]=0}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho {\bf {v}}(k+h)}$ ${\displaystyle {\bf {q}}=-\kappa \nabla T}$ ${\displaystyle -\sigma \cdot {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=0}$$

Ecuación para la producción de entropía

Nótese que las relaciones termodinámicas para la energía interna y la entalpía están dadas por: También podemos obtener una ecuación para la energía cinética tomando el producto escalar de la ecuación de Navier-Stokes con la velocidad de flujo para obtener: El segundo término en el lado derecho puede expandirse para leer: Con la ayuda de la relación termodinámica para la entalpía y el último resultado, podemos poner la ecuación de energía cinética en la forma: Ahora expandiendo la derivada temporal de la energía total, tenemos: Luego, expandiendo cada uno de estos términos, encontramos que: Y agrupando términos, nos quedamos con: Ahora agregando la divergencia del flujo de calor debido a la conducción térmica a cada lado, tenemos que: Sin embargo, sabemos que por la conservación de la energía en el lado izquierdo es igual a cero, dejándonos con: El producto del tensor de tensión viscosa y el gradiente de velocidad puede expandirse como: Por lo tanto, conduce a la forma final de la ecuación para la producción de entropía específica: En el caso donde la conducción térmica y las fuerzas viscosas están ausentes, la ecuación para la producción de entropía colapsa a - mostrando que el flujo de fluido ideal es isentrópico . $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho d\varepsilon &=\rho Tds+{p \over {\rho }}d\rho \\\rho dh&=\rho Tds+dp\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ $${\displaystyle \rho {Dk \over {Dt}}=-{\bf {v}}\cdot \nabla p+v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}{\partial \sigma _{ij} \over {\partial x_{j}}}&={\partial \over {\partial x_{j}}}\left(\sigma _{ij}v_{i}\right)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\&\equiv \nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \rho {Dk \over {Dt}}=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}}$$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]=\rho {\partial k \over {\partial t}}+\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}+(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\partial k \over {\partial t}}&=-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla k-\rho {\bf {v}}\cdot \nabla h+\rho T{\bf {v}}\cdot \nabla s+\nabla \cdot (\sigma \cdot {\bf {v}})-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\\\rho {\partial \varepsilon \over {\partial t}}&=\rho T{\partial s \over {\partial t}}-{p \over {\rho }}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\\(k+\varepsilon ){\partial \rho \over {\partial t}}&=-(k+\varepsilon )\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}}$$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left[\rho (k+\varepsilon )\right]+\nabla \cdot \left[\rho {\bf {v}}(k+h)-\kappa \nabla T-\sigma \cdot {\bf {v}}\right]=\rho T{Ds \over {Dt}}-\nabla \cdot (\kappa \nabla T)-\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}}$$ $${\displaystyle \rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}&=\mu \left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right){\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+\zeta \delta _{ij}{\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}\nabla \cdot {\bf {v}}\\&={\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \rho T{Ds \over {Dt}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)+{\mu \over {2}}\left({\partial v_{i} \over {\partial x_{j}}}+{\partial v_{j} \over {\partial x_{i}}}-{2 \over {3}}\delta _{ij}\nabla \cdot {\bf {v}}\right)^{2}+\zeta (\nabla \cdot {\bf {v}})^{2}}$$ ${\displaystyle Ds/Dt=0}$

Solicitud

Esta ecuación se deriva en la Sección 49, en la apertura del capítulo sobre "Conducción térmica en fluidos" en el sexto volumen del Curso de física teórica de LD Landau y EM Lifshitz . ^[1] Se puede utilizar para medir la transferencia de calor y el flujo de aire en un refrigerador doméstico, ^[4] para hacer un análisis armónico de regeneradores, ^[5] o para comprender la física de los glaciares . ^[6]

Véase también

• Disipación
• Transferencia de calor
• Energía cinética turbulenta

Referencias

1. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos (PDF) . Curso de Física Teórica . Vol. 6 (2.ª ed.). Butterworth-Heinemann. págs. 192–194. ISBN 978-0-7506-2767-2.OCLC 936858705  .
2. Kundu, PK; Cohen, IM; Dowling, DR (2012). Mecánica de fluidos (5.ª ed.). Academic Press. págs. 123-125. ISBN 978-0-12-382100-3.
3. Pedlosky, J. (2003). Ondas en el océano y la atmósfera: Introducción a la dinámica de las olas . Springer. pág. 19. ISBN 978-3540003403.
4. Laguerre, Onrawee (21 de mayo de 2010), Farid, Mohammed M. (ed.), "Transferencia de calor y flujo de aire en un refrigerador doméstico", Modelado matemático del procesamiento de alimentos (1.ª ed.), CRC Press, págs. 453-482, doi :10.1201/9781420053548-20, ISBN 978-0-429-14217-8, consultado el 7 de mayo de 2023
5. Swift, GW; Wardt, WC (octubre-diciembre de 1996). "Análisis armónico simple de regeneradores". Revista de termofísica y transferencia de calor . 10 (4): 652–662. doi :10.2514/3.842.
6. Cuffey, KM (2010). La física de los glaciares. WSB Paterson (4.ª ed.). Burlington, MA. ISBN 978-0-12-369461-4.OCLC 488732494  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Lectura adicional

• Vallis, GK (2006). Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos: fundamentos y circulación a gran escala . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84969-2.
• Yilmaz, T.; Cihan, E. (septiembre de 1993). "Ecuación general para transferencia de calor para flujo laminar en conductos de secciones transversales arbitrarias". Revista internacional de transferencia de calor y masa . 36 (13): 3265–3270. doi :10.1016/0017-9310(93)90009-U. ISSN  0017-9310.