Ecuación del cabrestante

Relaciona la fuerza de sujeción con la fuerza de carga si se enrolla una línea flexible alrededor de un cilindro.

Un ejemplo de cuándo el conocimiento de la ecuación del cabrestante podría haber sido útil. El tubo blanco doblado contiene un cordón para subir y bajar una persiana. El tubo está doblado 40 grados en dos lugares. La línea azul indica un diseño más eficiente.

Esquema de cantidades para la ecuación del cabrestante

Un ejemplo de cabrestantes de sujeción y un cabrestante motorizado utilizado para izar las velas en un barco alto.

La ecuación del cabrestante ^[1] o ecuación de fricción de la correa , también conocida como fórmula de Euler-Eytelwein ^[2] (en honor a Leonhard Euler y Johann Albert Eytelwein ), ^[3] relaciona la fuerza de sujeción con la fuerza de carga si una línea flexible se enrolla alrededor de un cilindro (un bolardo , un cabrestante o un cabrestante ). ^{[4] [1]}

También se aplica para fracciones de una vuelta como ocurre con los accionamientos por cuerda o los frenos de cinta .

Debido a la interacción de las fuerzas de fricción y la tensión, la tensión de una cuerda enrollada alrededor de un cabrestante puede ser diferente en cada lado del mismo. Una pequeña fuerza de sujeción ejercida en un lado puede soportar una fuerza de carga mucho mayor en el otro lado; este es el principio por el que funciona un dispositivo de tipo cabrestante.

Un cabrestante de retención es un dispositivo de trinquete que puede girar solo en una dirección; una vez que se coloca una carga en esa dirección, se puede sujetar con una fuerza mucho menor. Un cabrestante motorizado, también llamado torno, gira de manera que la tensión aplicada se multiplica por la fricción entre el cabo y el cabrestante. En un barco alto, se utilizan un cabrestante de retención y un cabrestante motorizado en tándem para que se pueda utilizar una pequeña fuerza para izar una vela pesada y luego se pueda quitar fácilmente el cabo del cabrestante motorizado y atar.

En la escalada en roca, este efecto permite que una persona más ligera sujete ( asegura ) a una persona más pesada cuando escala con cuerda superior , y también produce arrastre de cuerda durante la escalada de primero .

La fórmula es

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}\ e^{\mu \varphi }~,}$

donde es la tensión aplicada en la línea, es la fuerza resultante ejercida en el otro lado del cabrestante, es el coeficiente de fricción entre la cuerda y los materiales del cabrestante, y es el ángulo total barrido por todas las vueltas de la cuerda, medido en radianes (es decir, con una vuelta completa el ángulo ). ${\displaystyle T_{\text{load}}}$ ${\displaystyle T_{\text{hold}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =2\pi \,}$

Para aplicaciones dinámicas como transmisiones por correa o frenos, la magnitud de interés es la diferencia de fuerza entre y . La fórmula para esto es ${\displaystyle T_{\text{load}}}$ ${\displaystyle T_{\text{hold}}}$

${\displaystyle F=T_{\text{load}}-T_{\text{hold}}=(e^{\mu \varphi }-1)~T_{\text{hold}}=(1-e^{-\mu \varphi })~T_{\text{load}}}$

Para que las ecuaciones sean válidas deben cumplirse varios supuestos:

1. La cuerda está al borde del deslizamiento total, es decir, la carga máxima que puede soportar. También se pueden soportar cargas más pequeñas, lo que da como resultado un ángulo de contacto efectivo menor . ${\displaystyle T_{\text{load}}}$ ${\displaystyle \varphi }$
2. Es importante que la línea no sea rígida, en cuyo caso se perdería una fuerza significativa al doblarla firmemente alrededor del cilindro. (La ecuación debe modificarse para este caso). Por ejemplo, un cable Bowden es hasta cierto punto rígido y no obedece los principios de la ecuación del cabrestante.
3. La línea no es elástica .

Se puede observar que la ganancia de fuerza aumenta exponencialmente con el coeficiente de fricción, el número de vueltas alrededor del cilindro y el ángulo de contacto. Nótese que el radio del cilindro no tiene influencia en la ganancia de fuerza .

La siguiente tabla enumera los valores del factor en función del número de vueltas y el coeficiente de fricción μ . ${\displaystyle e^{\mu \varphi }\,}$

De la tabla se desprende claramente por qué rara vez se ve una escota (una cuerda que va al lado suelto de una vela) enrollada más de tres vueltas alrededor de un torno. El aumento de fuerza sería extremo, además de contraproducente, ya que existe el riesgo de un giro brusco , con el resultado de que la escota se enredará, formará un nudo y no se soltará al soltarla (por aflojar el agarre en la cola (extremo libre)).

Es una práctica antigua y moderna que los cabrestantes de ancla y los tornos de foque estén ligeramente ensanchados en la base, en lugar de cilíndricos, para evitar que el cabo ( la urdimbre del ancla o la escota de la vela) se deslice hacia abajo. El cabo enrollado varias veces alrededor del torno puede deslizarse hacia arriba gradualmente, con poco riesgo de que se desvíe, siempre que se lo enrosque (se tire del extremo suelto), a mano o con un enrollador automático.

Por ejemplo, el factor "153.552.935" (5 vueltas alrededor de un cabrestante con un coeficiente de fricción de 0,6) significa, en teoría, que un bebé recién nacido sería capaz de sostener (sin mover) el peso de dos superportaaviones USS  Nimitz (97.000 toneladas cada uno, pero para el bebé sería sólo un poco más de 1 kg). La gran cantidad de vueltas alrededor del cabrestante combinadas con un coeficiente de fricción tan alto significan que se necesita muy poca fuerza adicional para mantener un peso tan pesado en su lugar. Los cables necesarios para soportar este peso, así como la capacidad del cabrestante para soportar la fuerza de aplastamiento de esos cables, son consideraciones separadas.

Derivación

La tensión aplicada es una función del ángulo total subtendido por la cuerda en el cabrestante. Al borde del deslizamiento, esta es también la fuerza de fricción, que es por definición multiplicada por la fuerza normal . Por geometría simple, la fuerza normal adicional al aumentar el ángulo en un ángulo pequeño se aproxima bien a . Combinando estos y considerando infinitesimalmente pequeños se obtiene la ecuación diferencial ${\textstyle T_{\mathrm {load} }(\varphi )}$ ${\textstyle \mu }$ ${\displaystyle R(\varphi )}$ ${\textstyle \delta R(\varphi )=R(\varphi +\delta \varphi )-R(\varphi )}$ ${\textstyle \delta \varphi }$ ${\textstyle \delta R(\varphi )\approx T_{\mathrm {load} }(\varphi )\sin(\delta \varphi )\approx T_{\mathrm {load} }(\varphi )\delta \varphi }$ ${\textstyle \delta \varphi }$

${\displaystyle {\frac {dT_{\mathrm {load} }(\varphi )}{d\varphi }}=\mu T_{\mathrm {load} }(\varphi ),\qquad T_{\mathrm {load} }(0)=T_{\mathrm {hold} },}$

cuya solución es

${\displaystyle T_{\mathrm {load} }(\varphi )=T_{\mathrm {hold} }e^{\mu \varphi }}$

Generalizaciones

Generalización de la ecuación del cabrestante para una correa trapezoidal

La ecuación de fricción de una correa trapezoidal es:

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}e^{\mu \varphi /\sin(\alpha /2)}}$

donde es el ángulo (en radianes) entre los dos lados planos de la polea contra los que presiona la correa trapezoidal. ^[5] Una correa plana tiene un ángulo efectivo de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =\pi }$

El material de una correa trapezoidal o de una correa serpentina multi-V tiende a encajarse en la ranura de acoplamiento de una polea a medida que aumenta la carga, lo que mejora la transmisión de par. ^[6]

Para la misma transmisión de potencia, una correa trapezoidal requiere menos tensión que una correa plana, lo que aumenta la vida útil del rodamiento. ^[5]

Generalización de la ecuación del cabrestante para una cuerda que se encuentra sobre una superficie ortotrópica arbitraria

Si una cuerda se encuentra en equilibrio bajo fuerzas tangenciales sobre una superficie ortotrópica rugosa , entonces se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Sin separación: la reacción normal es positiva para todos los puntos de la curva de la cuerda: ${\displaystyle N}$

   ${\displaystyle N=-k_{n}T>0}$, donde es una curvatura normal de la curva de la cuerda. ${\displaystyle k_{n}}$

2. El coeficiente de fricción y el ángulo de arrastre satisfacen los siguientes criterios para todos los puntos de la curva ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle \alpha }$

   ${\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}$

3. Valores límite de las fuerzas tangenciales:

   Las fuerzas en ambos extremos de la cuerda y satisfacen la siguiente desigualdad ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{0}}$

   ${\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega \,ds}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega \,ds}}$

   con ${\displaystyle \omega =\mu _{\tau }{\sqrt {k_{n}^{2}-{\frac {k_{g}^{2}}{\mu _{g}^{2}}}}}=\mu _{\tau }k{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}},}$

   donde es una curvatura geodésica de la curva de la cuerda, es una curvatura de una curva de la cuerda, es un coeficiente de fricción en la dirección tangencial. ${\displaystyle k_{g}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu _{\tau }}$

   Si entonces ${\displaystyle \omega ={\text{constant}}}$ ${\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}.}$

Esta generalización fue obtenida por Konyukhov. ^{[7] [8]}

Véase también

• Fricción de la correa
• Mecánica de contacto por fricción
• Amplificador de par , un dispositivo que aprovecha el efecto cabrestante.

Referencias

1. Attaway, Stephen W. (1999-11-01). La mecánica de la fricción en el rescate con cuerdas. Simposio internacional de rescate técnico . Consultado el 23 de noviembre de 2022 .
2. Metzger, Andreas; Konyukhov, Alexander; Schweizerhof, Karl (2011). "Implementación de elementos finitos para el problema de EULER-EYTELWEIN y su posterior uso en la simulación FEM de nudos náuticos comunes". PAMM Proc. Matemáticas Aplicadas. Mecánica . 11 : 249–250. doi :10.1002/pamm.201110116. S2CID  119597604.
3. Mann, Herman (5 de mayo de 2005). "Belt Friction". Archivado desde el original el 2007-08-02 . Consultado el 23 de febrero de 2013 .
4. Johnson, KL (1985). Mecánica de contacto (PDF) . Consultado el 14 de febrero de 2011 .
5. Moradmand, Jamshid; Marcks, Russell; Looker, Tom. "Fricción de correas y envolturas" (PDF) .
6. Slocum, Alexander (2008). "FUNDAMENTOS del diseño" (PDF) . páginas 5–9.
7. Konyukhov, Alexander (1 de abril de 2015). "Contacto de cuerdas y superficies rugosas ortotrópicas". Revista de Matemática Aplicada y Mecánica . 95 (4): 406–423. Bibcode :2015ZaMM...95..406K. doi : 10.1002/zamm.201300129 . ISSN  1521-4001. S2CID  122410452.
8. Konyukhov, A.; Izi, R. "Introducción a la mecánica de contacto computacional: un enfoque geométrico". Wiley.

Lectura adicional

• Arne Kihlberg, Kompendium i Mekanik för E1, del II, Gotemburgo 1980, 60–62.

Enlaces externos

• Calculadora de ecuaciones de cabrestante