Flujo de Fanno

Flujo de fluido a través de un conducto de área constante con fricción.

En dinámica de fluidos , el flujo de Fanno (en honor al ingeniero italiano Gino Girolamo Fanno ) es el flujo adiabático a través de un conducto de área constante donde se considera el efecto de la fricción . ^{[1] Los efectos} de compresibilidad a menudo entran en consideración, aunque el modelo de flujo de Fanno ciertamente también se aplica al flujo incompresible . Para este modelo, el área del conducto permanece constante, se supone que el flujo es estable y unidimensional, y no se agrega masa dentro del conducto. El modelo de flujo de Fanno se considera un proceso irreversible debido a los efectos viscosos . La fricción viscosa hace que las propiedades del flujo cambien a lo largo del conducto. El efecto de fricción se modela como una tensión cortante en la pared que actúa sobre el fluido con propiedades uniformes sobre cualquier sección transversal del conducto.

Para un flujo con un número de Mach ascendente mayor que 1.0 en un conducto suficientemente largo, se produce una desaceleración y el flujo puede obstruirse . Por otro lado, para un flujo con un número de Mach ascendente menor que 1.0, se produce una aceleración y el flujo puede obstruirse en un conducto suficientemente largo. Se puede demostrar que para el flujo de gas calóricamente perfecto la entropía máxima se produce en M  = 1.0.

Teoría

Figura 1 Se traza una línea de Fanno en el eje adimensional H-ΔS.

El modelo de flujo de Fanno comienza con una ecuación diferencial que relaciona el cambio en el número de Mach con respecto a la longitud del conducto, dM/dx . Otros términos en la ecuación diferencial son la relación de capacidad térmica , γ , el factor de fricción de Fanning , f , y el diámetro hidráulico , D _h :

${\displaystyle \ {\frac {dM^{2}}{M^{2}}}={\frac {\gamma M^{2}}{1-M^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right){\frac {4f}{D_{h}}}dx}$

Suponiendo que el factor de fricción de Fanning es una constante a lo largo de la pared del conducto, la ecuación diferencial se puede resolver fácilmente. ^{[2] [3]} Sin embargo, hay que tener en cuenta que el valor del factor de fricción de Fanning puede ser difícil de determinar para velocidades de flujo supersónicas y, especialmente , hipersónicas . La relación resultante se muestra a continuación, donde L* es la longitud de conducto necesaria para estrangular el flujo suponiendo que el número de Mach aguas arriba es supersónico. El lado izquierdo a menudo se denomina parámetro de Fanning.

${\displaystyle \ {\frac {4fL^{*}}{D_{h}}}=\left({\frac {1-M^{2}}{\gamma M^{2}}}\right)+\left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)\ln \left[{\frac {M^{2}}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\right]}$

Igualmente importante para el modelo de flujo de Fanno es la relación adimensional del cambio en la entropía sobre la capacidad térmica a presión constante, c _p .

${\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left(\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\right]\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]\right)^{\frac {-(\gamma +1)}{2\gamma }}\right]}$

La ecuación anterior se puede reescribir en términos de una relación de temperatura estática a estancada, que, para un gas calóricamente perfecto, es igual a la relación de entalpía adimensional, H :

${\displaystyle \ H={\frac {h}{h_{0}}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T_{0}}}={\frac {T}{T_{0}}}}$

${\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {1}{H}}-1\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {2}{\gamma -1}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2\gamma }}\left({\frac {\gamma +1}{2}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left(H\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]}$

La ecuación anterior se puede utilizar para trazar la línea de Fanno, que representa un lugar geométrico de estados para condiciones de flujo de Fanno dadas en un diagrama H - ΔS . En el diagrama, la línea de Fanno alcanza la entropía máxima en H  = 0,833 y el flujo se obstruye. Según la segunda ley de la termodinámica , la entropía siempre debe aumentar para el flujo de Fanno. Esto significa que un flujo subsónico que ingresa a un conducto con fricción tendrá un aumento en su número de Mach hasta que el flujo se obstruya. Por el contrario, el número de Mach de un flujo supersónico disminuirá hasta que el flujo se obstruya. Cada punto en la línea de Fanno corresponde a un número de Mach diferente, y el movimiento hacia el flujo obstruido se muestra en el diagrama.

La línea de Fanno define los estados posibles de un gas cuando el caudal másico y la entalpía total se mantienen constantes, pero el momento varía. Cada punto de la línea de Fanno tendrá un valor de momento diferente, y el cambio en el momento es atribuible a los efectos de la fricción. ^[4]

Relaciones de flujo de Fanno adicionales

Figura 2 Relaciones de propiedades termodinámicas comunes graficadas en función del número de Mach utilizando el modelo de flujo de Fanno.

Como se indicó anteriormente, el área y el caudal másico en el conducto se mantienen constantes para el flujo Fanno. Además, la temperatura de estancamiento permanece constante. Estas relaciones se muestran a continuación con el símbolo * que representa la ubicación de la garganta donde puede producirse el estrangulamiento. Una propiedad de estancamiento contiene un subíndice 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=A^{*}={\mbox{constant}}\\T_{0}&=T_{0}^{*}={\mbox{constant}}\\{\dot {m}}&={\dot {m}}^{*}={\mbox{constant}}\end{aligned}}}$

También se pueden desarrollar y resolver ecuaciones diferenciales para describir las relaciones de propiedades del flujo de Fanno con respecto a los valores en el punto de estrangulamiento. Las relaciones de presión, densidad, temperatura, velocidad y presión de estancamiento se muestran a continuación, respectivamente. Se representan gráficamente junto con el parámetro de Fanno.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1}{M}}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {1}{\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}\\{\frac {V}{V^{*}}}&=M{\frac {1}{\sqrt {\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {1}{M}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2\left(\gamma -1\right)}}\end{aligned}}}$

Aplicaciones

Figura 3 Se muestra una tobera supersónica que conduce a un conducto de área constante. Las condiciones iniciales existen en el punto 1. El punto 2 existe en la garganta de la tobera, donde M  = 1. El punto 3 marca la transición del flujo isentrópico al flujo Fanno. Los puntos 4 y 5 dan las condiciones previas y posteriores a la onda de choque, y el punto E es la salida del conducto.

Figura 4 El diagrama H - S se representa para las condiciones de la Figura 3. La entropía es constante para el flujo isentrópico, por lo que las condiciones en el punto 1 se mueven verticalmente hacia abajo hasta el punto 3. A continuación, el flujo sigue la línea de Fanno hasta que un choque cambia el flujo de supersónico a subsónico. El flujo luego sigue la línea de Fanno nuevamente, casi alcanzando una condición de estrangulamiento antes de salir del conducto.

Figura 5 Gráfico de intersección de líneas de Fanno y Rayleigh.

El modelo de flujo Fanno se utiliza a menudo en el diseño y análisis de toberas. En una tobera, el área convergente o divergente se modela con flujo isentrópico, mientras que la sección de área constante después se modela con flujo Fanno. Para las condiciones dadas aguas arriba en el punto 1 como se muestra en las Figuras 3 y 4, se pueden hacer cálculos para determinar el número de Mach de salida de la tobera y la ubicación de un choque normal en el conducto de área constante. El punto 2 etiqueta la garganta de la tobera, donde M  = 1 si el flujo está estrangulado. El punto 3 etiqueta el final de la tobera donde el flujo pasa de isentrópico a Fanno. Con una presión inicial lo suficientemente alta, se puede mantener un flujo supersónico a través del conducto de área constante, similar al rendimiento deseado de un túnel de viento supersónico de tipo purga . Sin embargo, estas figuras muestran la onda de choque antes de que se haya movido completamente a través del conducto. Si hay una onda de choque, el flujo pasa de la parte supersónica de la línea de Fanno a la parte subsónica antes de continuar hacia M  = 1. El movimiento en la Figura 4 es siempre de izquierda a derecha para satisfacer la segunda ley de la termodinámica.

El modelo de flujo de Fanno también se utiliza ampliamente con el modelo de flujo de Rayleigh . Estos dos modelos se cruzan en puntos de los diagramas de entalpía-entropía y número de Mach-entropía, lo que es significativo para muchas aplicaciones. Sin embargo, los valores de entropía para cada modelo no son iguales en el estado sónico. El cambio en la entropía es 0 en M  = 1 para cada modelo, pero la afirmación anterior significa que el cambio en la entropía desde el mismo punto arbitrario hasta el punto sónico es diferente para los modelos de flujo de Fanno y Rayleigh. Si se definen los valores iniciales de s _i y M _i , se puede definir una nueva ecuación para la entropía adimensional frente al número de Mach para cada modelo. Estas ecuaciones se muestran a continuación para el flujo de Fanno y Rayleigh, respectivamente.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=\ln \left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}}$

La figura 5 muestra las líneas de Fanno y Rayleigh intersecándose entre sí para las condiciones iniciales de s _i  = 0 y M _i  = 3. Los puntos de intersección se calculan igualando las nuevas ecuaciones de entropía adimensionales entre sí, lo que da como resultado la siguiente relación.

${\displaystyle \ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]}$

Los puntos de intersección se dan en el número de Mach inicial dado y su valor de choque postnormal . Para la Figura 5, estos valores son M  = 3 y 0,4752, que se pueden encontrar en las tablas de choque normal que figuran en la mayoría de los libros de texto sobre flujo compresible. Un flujo dado con un área de conducto constante puede cambiar entre los modelos Fanno y Rayleigh en estos puntos.

Véase también

• Flujo de Rayleigh
• Flujo de inyección de masa
• Proceso isentrópico
• Flujo isotérmico
• Dinámica de gases
• Flujo compresible
• Flujo estrangulado
• Entalpía
• Entropía
• Flujo de boquilla isentrópica

Referencias

1. Shapiro, AH, La dinámica y termodinámica del flujo de fluidos compresibles, Volumen 1 , Ronald Press, 1953.
2. Zucker, RD, Biblarz, O., Fundamentos de la dinámica de gases , John Wiley & Sons, 2002.
3. Hodge, BK y Koenig, K., Dinámica de fluidos compresibles con aplicaciones de computadora personal , Prentice Hall, 1995.
4. Los fenómenos del movimiento de fluidos, RS Brodkey, pág. 187, RS Brodkey (pub), 1995

Enlaces externos

• Calculadoras de flujo Fanno adiabático e isotérmico de la Universidad de Purdue
• Calculadora web de flujo Fanno de la Universidad de Kentucky
• Maurice W. Downey y Gino Fanno