Ecuación de equilibrio

En teoría de probabilidad , una ecuación de equilibrio es una ecuación que describe el flujo de probabilidad asociado con una cadena de Markov dentro y fuera de estados o un conjunto de estados. ^[1]

Equilibrio global

Las ecuaciones de equilibrio global (también conocidas como ecuaciones de equilibrio completo ^[2] ) son un conjunto de ecuaciones que caracterizan la distribución de equilibrio (o cualquier distribución estacionaria) de una cadena de Markov, cuando dicha distribución existe.

Para una cadena de Markov de tiempo continuo con espacio de estados , tasa de transición del estado a dada por y distribución de equilibrio dada por , las ecuaciones de equilibrio global están dadas por ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q_{ij}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{i}=\sum _{j\in S}\pi _{j}q_{ji},}$

o equivalentemente

${\displaystyle \pi _{i}\sum _{j\in S\setminus \{i\}}q_{ij}=\sum _{j\in S\setminus \{i\}}\pi _{j}q_{ji}.}$

para todos . Aquí representa el flujo de probabilidad de un estado a otro . Por lo tanto, el lado izquierdo representa el flujo total desde el estado i hacia estados distintos de i , mientras que el lado derecho representa el flujo total desde todos los estados hacia el estado . En general, es computacionalmente intratable resolver este sistema de ecuaciones para la mayoría de los modelos de colas. ^[4] ${\displaystyle i\in S}$ ${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle i}$

Balance detallado

Para una cadena de Markov de tiempo continuo (CTMC) con matriz de tasa de transición , se puede encontrar si tal que para cada par de estados y ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}=\pi _{j}q_{ji}}$

se cumple, entonces al sumar sobre , se satisfacen las ecuaciones de equilibrio global y es la distribución estacionaria del proceso. ^[5] Si se puede encontrar dicha solución, las ecuaciones resultantes suelen ser mucho más fáciles que resolver directamente las ecuaciones de equilibrio global. ^[4] ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \pi }$

Un CTMC es reversible si y sólo si se satisfacen las condiciones de equilibrio detalladas para cada par de estados y . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Se dice que una cadena de Markov de tiempo discreto (DTMC) con matriz de transición y distribución de equilibrio está en equilibrio detallado si para todos los pares y , ^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}p_{ij}=\pi _{j}p_{ji}.}$

Cuando se puede encontrar una solución, como en el caso de un CTMC, el cálculo suele ser mucho más rápido que resolver directamente las ecuaciones de equilibrio global.

Equilibrio local

En algunas situaciones, los términos de ambos lados de las ecuaciones de equilibrio global se cancelan. Las ecuaciones de equilibrio global pueden entonces dividirse para dar un conjunto de ecuaciones de equilibrio local (también conocidas como ecuaciones de equilibrio parcial , ^[2] ecuaciones de equilibrio independientes ^[7] o ecuaciones de equilibrio individuales ^[8] ). ^[1] Estas ecuaciones de equilibrio fueron consideradas por primera vez por Peter Whittle . ^{[8] [9]} Las ecuaciones resultantes están en algún lugar entre las ecuaciones de equilibrio detalladas y las ecuaciones de equilibrio global. Cualquier solución a las ecuaciones de equilibrio local es siempre una solución a las ecuaciones de equilibrio global (podemos recuperar las ecuaciones de equilibrio global sumando las ecuaciones de equilibrio local relevantes), pero lo inverso no siempre es cierto. ^[2] A menudo, construir ecuaciones de equilibrio local es equivalente a eliminar las sumas externas en las ecuaciones de equilibrio global para ciertos términos. ^[1] ${\displaystyle \pi }$

Durante la década de 1980 se pensaba que el equilibrio local era un requisito para una distribución de equilibrio en forma de producto , ^{[10] [11]} pero el modelo de red G de Gelenbe demostró que este no era el caso. ^[12]

Notas

1. Harrison, Peter G. ; Patel, Naresh M. (1992). Modelado del rendimiento de redes de comunicación y arquitecturas informáticas . Addison-Wesley. ISBN 0-201-54419-9.
2. Kelly, FP (1979). Reversibilidad y redes estocásticas. J. Wiley. ISBN 0-471-27601-4.
3. Chandy, KM (marzo de 1972). "Análisis y soluciones para redes de colas generales". Proc. Sexta Conferencia Anual de Princeton sobre Ciencias y Sistemas de la Información, Princeton U. Princeton, NJ, págs. 224–228.
4. Grassman, Winfried K. (2000). Probabilidad computacional . Springer. ISBN 0-7923-8617-5.
5. Bocharov, Pavel Petrovich; D'Apice, C.; Pechinkin, AV; Salerno, S. (2004). Teoría de las colas . Walter de Gruyter. pag. 37.ISBN​ 90-6764-398-X.
6. Norris, James R. (1998). Cadenas de Markov. Cambridge University Press . ISBN 0-521-63396-6. Recuperado el 11 de septiembre de 2010 .
7. Baskett, F.; Chandy, K. Mani ; Muntz, RR; Palacios, FG (1975). "Redes abiertas, cerradas y mixtas de colas con diferentes clases de clientes". Revista de la ACM . 22 (2): 248–260. doi : 10.1145/321879.321887 .
8. Whittle, P. (1968). "Distribuciones de equilibrio para un proceso de migración abierta". Journal of Applied Probability . 5 (3): 567–571. doi :10.2307/3211921. JSTOR  3211921.
9. Chao, X.; Miyazawa, M. (1998). "Sobre la cuasi-reversibilidad y el equilibrio local: una derivación alternativa de los resultados de la forma del producto". Investigación de operaciones . 46 (6): 927–933. doi :10.1287/opre.46.6.927. JSTOR  222945.
10. Boucherie, Richard J.; van Dijk, NM (1994). "Equilibrio local en redes de colas con clientes positivos y negativos". Anales de investigación de operaciones . 48 (5): 463–492. doi :10.1007/bf02033315. hdl : 1871/12327 .
11. Chandy, K. Mani ; Howard, JH Jr; Towsley, DF (1977). "Forma del producto y equilibrio local en redes de colas". Revista de la ACM . 24 (2): 250–263. doi : 10.1145/322003.322009 .
12. Gelenbe, Erol (septiembre de 1993). "Redes G con movimiento de clientes activado". Journal of Applied Probability . 30 (3): 742–748. doi :10.2307/3214781. JSTOR  3214781.