Ecuación de Schamel

La ecuación de Schamel (ecuación S) es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden en el tiempo y de tercer orden en el espacio. Similar a la ecuación de Korteweg-De Vries (KdV), ^[1] describe el desarrollo de una estructura de onda localizada y coherente que se propaga en un medio dispersivo no lineal. Fue derivada por primera vez en 1973 por Hans Schamel ^[2] para describir los efectos del atrapamiento de electrones en el valle del potencial de una estructura de onda electrostática solitaria que viaja con velocidad acústica iónica en un plasma de dos componentes. Ahora se aplica a varias dinámicas de pulsos localizados como:

• huecos de electrones e iones o vórtices de espacio de fase en plasmas libres de colisiones como los plasmas espaciales, ^[3]
• Propagación de pulsos axisimétricos en carcasas cilíndricas no lineales reforzadas físicamente, ^[4]
• Propagación de "solitones" en líneas de transmisión no lineales ^[5] o en fibra óptica y física láser. ^[6]

La ecuación

La ecuación de Schamel es ^[2]

${\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}$

donde representa . En el caso de ondas solitarias iónicas acústicas, el parámetro refleja el efecto de los electrones atrapados en el valle del potencial electrostático . Está dado por , donde , el parámetro de atrapamiento, refleja el estado de los electrones atrapados, lo que representa una distribución de electrones atrapados estacionaria con la parte superior plana, una depresión o caída. Se cumple , donde es la amplitud de la onda. Todas las cantidades están normalizadas: la energía potencial por la energía térmica del electrón, la velocidad por la velocidad del sonido del ion, el tiempo por la frecuencia inversa del plasma iónico y el espacio por la longitud de Debye del electrón. Nótese que para una ecuación KdV se reemplaza por tal que la no linealidad se vuelve bilineal (ver más adelante). ${\displaystyle \phi _{(t,x)}}$ ${\displaystyle \partial _{(t,x)}\phi }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle b={\frac {1-\beta }{\sqrt {\pi }}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle \beta <0}$ ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \psi \ll 1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle b{\sqrt {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$

Solución de onda solitaria

La solución de onda solitaria en estado estacionario, , se da en el marco comóvil por: ${\displaystyle \phi (x-v_{0}t)}$

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)}$

${\displaystyle v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.}$

La velocidad de la estructura es supersónica, , ya que tiene que ser positiva, , lo que corresponde en el caso acústico iónico a una distribución deprimida de electrones atrapados . ^{[2] [7]} ${\displaystyle v_{0}>1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0<b}$ ${\displaystyle \beta <1}$

Demostración por el método pseudopotencial

La demostración de esta solución utiliza la analogía con la mecánica clásica a través de donde , es el pseudopotencial correspondiente. De esto obtenemos por una integración: , que representa la pseudoenergía, y de la ecuación de Schamel: . A través de la exigencia obvia, a saber, que en el máximo potencial, , la pendiente de se anula, obtenemos: . Esta es una relación de dispersión no lineal (NDR) porque determina la velocidad de fase dada por la segunda expresión. La forma canónica de se obtiene reemplazando por la NDR. Se convierte en:
${\displaystyle \phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$ ${\displaystyle {\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi )}}=0}$ ${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}}\phi ^{5/2}}$ ${\displaystyle \phi =\psi }$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\psi )=0}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$ ${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }}).}$

El uso de esta expresión en , que se desprende de la ley de pseudoenergía, da por integración: ${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}}$

${\displaystyle x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\right).}$

Esta es la función inversa de como se da en la primera ecuación. Nótese que la integral en el denominador de existe y puede expresarse mediante funciones matemáticas conocidas. Por lo tanto , es una función matemáticamente revelada. Sin embargo, la estructura a menudo permanece matemáticamente no revelada, es decir, no puede expresarse mediante funciones conocidas (ver por ejemplo la sección Ecuación logarítmica de Schamel). Esto generalmente sucede si están involucrados más de un escenario de atrapamiento, como por ejemplo en la turbulencia intermitente impulsada del plasma. ^[8] ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x(\phi )}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

No integrabilidad

A diferencia de la ecuación KdV, la ecuación de Schamel es un ejemplo de una ecuación de evolución no integrable. Solo tiene un número finito de constantes de movimiento (polinómicas) ^[9] y no pasa una prueba de Painlevé. ^{[4] [10]} Dado que no existe un llamado par Lax ( L , P ), ^[11] no es integrable mediante la transformada de dispersión inversa. ^[12]

Generalizaciones

Ecuación de Schamel-Korteweg-de Vries

Teniendo en cuenta el siguiente orden en la expresión para la densidad electrónica expandida, obtenemos , de donde obtenemos el pseudopotencial - . La ecuación de evolución correspondiente se convierte entonces en: ${\displaystyle n_{e}=1+\phi -{\frac {4b}{3}}\phi ^{3/2}+{\frac {1}{2}}\phi ^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )={\frac {8b}{15}}\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }})+{\frac {1}{3}}\phi ^{2}(\psi -\phi )}$

${\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}+\phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}$

que es la ecuación de Schamel-Korteweg-de Vries.

Su solución de onda solitaria se lee ^[7]

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}(y)\left[1+{\frac {1}{1+Q}}\tanh ^{2}(y)\right]^{-2}}$

con y . Dependiendo de Q tiene dos soluciones de onda solitaria limitantes: Para encontramos , la onda solitaria de Schamel. ${\displaystyle y={\frac {x}{2}}{\sqrt {\frac {\psi (1+Q)}{12}}}}$ ${\displaystyle Q={\frac {8b}{5{\sqrt {\psi }}}}}$ ${\displaystyle 1\ll Q}$ ${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x)}$

Para ello obtenemos que representa el solitón acústico iónico ordinario. Este último es similar a un fluido y se logra para o que representa una ecuación de estado electrónica isotérmica. Nótese que la ausencia de un efecto de atrapamiento ( b  = 0) no implica la ausencia de atrapamiento, una afirmación que suele estar mal representada en la literatura, especialmente en los libros de texto. Mientras sea distinto de cero, siempre hay un ancho de atrapamiento distinto de cero en el espacio de velocidad para la función de distribución de electrones. ${\displaystyle 1\gg Q}$ ${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{2}({\sqrt {\frac {\psi }{12}}}x)}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2\phi }}}$

Ecuación logarítmica de Schamel

Otra generalización de la ecuación S se obtiene en el caso de ondas acústicas iónicas al admitir un segundo canal de captura. Al considerar un escenario de captura no perturbativo adicional, Schamel ^[8] obtuvo:

${\displaystyle \qquad \qquad \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}-D\ln \phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0}$,

una generalización llamada ecuación S logarítmica. En ausencia de la no linealidad de la raíz cuadrada, , se resuelve mediante una solución de agujero en forma de Gauss: con y tiene una velocidad de fase supersónica . El pseudopotencial correspondiente viene dado por . De esto se deduce que es la función inversa de la Gaussiana mencionada. Para un b distinto de cero, manteniendo , la integral a obtener ya no se puede resolver analíticamente, es decir, mediante funciones matemáticas conocidas. Todavía existe una estructura de onda solitaria, pero no se puede alcanzar en una forma revelada. ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \phi (x)=\psi e^{Dx^{2}/4}}$ ${\displaystyle D<0}$
${\displaystyle v_{0}=1+D(\ln \psi -3/2)>1}$ ${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )=D{\frac {\phi ^{2}}{2}}\ln {\frac {\phi }{\psi }}}$ ${\displaystyle x(\phi )=2{\sqrt {-D\ln {\frac {\psi }{\phi }}}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x(\phi )}$

Ecuación de Schamel con coeficientes aleatorios

El hecho de que el atrapamiento electrostático implique procesos estocásticos en resonancia causados ​​por trayectorias caóticas de partículas ha llevado a considerar b en la ecuación S como una cantidad estocástica. Esto da como resultado una ecuación S estocástica de tipo Wick. ^{[13] [14]}

Ecuación de Schamel fraccional de tiempo

Se obtiene una generalización adicional reemplazando la primera derivada temporal por una derivada fraccionaria de Riesz, lo que produce una ecuación S fraccionaria temporal. ^{[15] [16]} Tiene aplicaciones, por ejemplo, para el ruido electrostático de banda ancha observado por el satélite Viking. ^[16]

Ecuación de Schamel-Schrödinger

Se puede establecer una conexión entre la ecuación de Schamel y la ecuación no lineal de Schrödinger dentro del contexto de un fluido de Madelung. ^[17] El resultado es la ecuación de Schamel-Schrödinger. ^[6]

${\displaystyle i\phi _{t}+|\phi |^{1/2}\phi +\phi _{xx}=0}$

y tiene aplicaciones en fibra óptica ^[18] y física láser. ^[19]

Referencias

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2. Schamel, Hans (1973). "Una ecuación de Korteweg-de Vries modificada para ondas acústicas iónicas debidas a electrones resonantes". Journal of Plasma Physics . 9 (3). Cambridge University Press (CUP): 377–387. Bibcode :1973JPlPh...9..377S. doi :10.1017/s002237780000756x. ISSN  0022-3778. S2CID  124961361.
3. Schamel, Hans (1986). "Huecos electrónicos, huecos iónicos y capas dobles". Physics Reports . 140 (3). Elsevier BV: 161–191. doi :10.1016/0370-1573(86)90043-8. ISSN  0370-1573.
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5. Aziz, Farah; Asif, Ali; Bint-e-Munir, Fatima (2020). "Modelado analítico de solitones eléctricos en una línea de transmisión no lineal utilizando la ecuación de Schamel–Korteweg deVries". Caos, solitones y fractales . 134 . Elsevier BV: 109737. Bibcode :2020CSF...13409737A. doi :10.1016/j.chaos.2020.109737. ISSN  0960-0779. S2CID  216209164.
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Enlaces externos

• www.hans-schamel.de : más información de Hans Schamel