Ecuación de Sauerbrey

La ecuación de Sauerbrey fue desarrollada por el alemán Günter Sauerbrey en 1959, mientras trabajaba en su tesis doctoral en la Technische Universität Berlin , Alemania. Es un método para correlacionar los cambios en la frecuencia de oscilación de un cristal piezoeléctrico con la masa depositada sobre él. Simultáneamente desarrolló un método para medir la frecuencia característica y sus cambios utilizando el cristal como el componente determinante de la frecuencia de un circuito oscilador. Su método continúa utilizándose como la herramienta principal en los experimentos de microbalanzas de cristal de cuarzo (QCM) para la conversión de frecuencia a masa y es válido en casi todas las aplicaciones.

La ecuación se obtiene tratando la masa depositada como si fuera una extensión del espesor del cuarzo subyacente. ^{[1] [2]} Debido a esto, la correlación de masa a frecuencia (determinada por la ecuación de Sauerbrey) es en gran medida independiente de la geometría del electrodo. Esto tiene la ventaja de permitir la determinación de la masa sin calibración, lo que hace que la configuración sea deseable desde el punto de vista de la inversión de tiempo y costos.

La ecuación de Sauerbrey se define como:

${\displaystyle \Delta f=-{\frac {2f_{0}^{2}}{A{\sqrt {\rho _{q}\mu _{q}}}}}\Delta m}$

dónde:

${\displaystyle f_{0}}$– Frecuencia de resonancia del modo fundamental (Hz)

${\displaystyle \Delta f}$– cambio de frecuencia normalizado (Hz)

${\displaystyle \Delta m}$– Cambio de masa (g)

${\displaystyle A}$– Área de cristal piezoeléctricamente activo (Área entre electrodos, cm ² )

${\displaystyle \rho _{q}}$ – Densidad del cuarzo ( = 2,648 g/cm ³ ) ${\displaystyle \rho _{q}}$

${\displaystyle \mu _{q}}$– Módulo de corte del cuarzo para cristal de corte AT ( = 2,947x10 ¹¹ g·cm ⁻¹ ·s ⁻² ) ${\displaystyle \mu _{q}}$

La frecuencia normalizada es el cambio de frecuencia nominal de ese modo dividido por su número de modo (la mayoría de los programas informáticos generan un cambio de frecuencia normalizado de forma predeterminada). Debido a que la película se trata como una extensión del espesor, la ecuación de Sauerbrey solo se aplica a sistemas en los que se cumplen las tres condiciones siguientes: la masa depositada debe ser rígida, la masa depositada debe estar distribuida de manera uniforme y el cambio de frecuencia < 0,05. ^[3] ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle \Delta f/f}$

Si el cambio de frecuencia es mayor al 5%, es decir, > 0,05, se debe utilizar el método Z-match para determinar el cambio de masa. ^[2] La fórmula para el método Z-match es: ^[2] ${\displaystyle \Delta f/f}$

${\displaystyle {\frac {\Delta m}{A}}\ ={\frac {N_{q}\rho _{q}}{\pi Zf_{L}}}\tan ^{-1}\left[Z\tan \left(\pi {\frac {f_{U}-f_{L}}{f_{U}}}\right)\right]}$

Ecuación 2 – Método de coincidencia Z

${\displaystyle f_{L}}$– Frecuencia del cristal cargado (Hz)

${\displaystyle f_{U}}$– Frecuencia del cristal descargado, es decir, frecuencia resonante (Hz)

${\displaystyle N_{q}}$– Constante de frecuencia para cristal de cuarzo de corte AT (1,668x10 ¹³ Hz·Å)

${\displaystyle \Delta m}$– Cambio de masa (g)

${\displaystyle A}$– Área de cristal piezoeléctricamente activo (Área entre electrodos, cm ² )

${\displaystyle \rho _{q}}$– Densidad del cuarzo ( = 2,648 g/cm ³ ) ${\displaystyle \rho _{q}}$

${\displaystyle Z}$– Factor Z del material de la película ${\displaystyle ={\sqrt {\left({\frac {\rho _{q}\mu _{q}}{\rho _{f}\mu _{f}}}\ \right)}}}$

${\displaystyle \rho _{f}}$– Densidad de la película (Varía: las unidades son g/cm ³ )

${\displaystyle \mu _{q}}$– Módulo de corte del cuarzo ( = 2,947x10 ¹¹ g·cm ⁻¹ ·s ⁻² ) ${\displaystyle \mu _{q}}$

${\displaystyle \mu _{f}}$– Módulo de corte de la película (varía: las unidades son g·cm ⁻¹ ·s ⁻² )

Limitaciones

La ecuación de Sauerbrey fue desarrollada para la oscilación en el aire y solo se aplica a masas rígidas unidas al cristal. Se ha demostrado que las mediciones con microbalanzas de cristal de cuarzo se pueden realizar en líquido, en cuyo caso se observará una disminución relacionada con la viscosidad en la frecuencia de resonancia:

${\displaystyle \Delta f={-\ f_{0}^{3/2}(\eta _{l}\rho _{l}/\pi \rho _{q}\mu _{q}n)^{1/2}}}$

donde es la densidad del líquido, es la viscosidad del líquido y es el número de modo. ^[4] ${\displaystyle \rho _{l}}$ ${\displaystyle \eta _{l}}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Sauerbrey, Günter Hans (abril de 1959) [21 de febrero de 1959]. "Verwendung von Schwingquarzen zur Wägung dünner Schichten und zur Mikrowägung" (PDF) . Zeitschrift für Physik (en alemán). 155 (2). Springer-Verlag : 206–222. Código Bib : 1959ZPhy..155..206S. doi :10.1007/BF01337937. ISSN  0044-3328. S2CID  122855173. Archivado (PDF) desde el original el 26 de febrero de 2019 . Consultado el 26 de febrero de 2019 .(NB. Esto fue presentado parcialmente en el Physikertagung en Heidelberg en octubre de 1957.)
2. QCM100 – Teoría y calibración de la microbalanza de cristal de cuarzo (PDF) , Stanford Research Systems / Lambda Photometrics Limited, archivado (PDF) del original el 27 de febrero de 2019 , consultado el 27 de febrero de 2019
3. Srivastava, Aseem Kumar; Sakthivel, Palanikumaran (enero-febrero de 2001). "Estudio de microbalanza de cristal de cuarzo para caracterizar el oxígeno atómico en herramientas de ceniza de plasma". Journal of Vacuum Science & Technology A: Vacuum, Surfaces, and Films . 19 (1): 97–100. Bibcode :2001JVSTA..19...97S. doi : 10.1116/1.1335681 . Consultado el 27 de febrero de 2019 .
4. Kanazawa, K. Keiji; Gordon II, Joseph G. (julio de 1985). "Frecuencia de una microbalanza de cuarzo en contacto con líquido". Química analítica . 57 (8): 1770–1771. doi :10.1021/ac00285a062.