Ecuación de Poisson-Boltzmann

Ecuación utilizada para interfaces fisiológicas, ciencia de polímeros y semiconductores.

La ecuación de Poisson-Boltzmann describe la distribución del potencial eléctrico en solución en la dirección normal a una superficie cargada. Esta distribución es importante para determinar cómo afectarán las interacciones electrostáticas a las moléculas en solución. La ecuación de Poisson-Boltzmann se deriva mediante supuestos de campo medio . ^{[1] [2]} A partir de la ecuación de Poisson-Boltzmann se han derivado muchas otras ecuaciones con varios supuestos diferentes.

Orígenes

Antecedentes y derivación

La ecuación de Poisson-Boltzmann describe un modelo propuesto de forma independiente por Louis Georges Gouy y David Leonard Chapman en 1910 y 1913, respectivamente. ^[3] En el modelo de Gouy-Chapman , un sólido cargado entra en contacto con una solución iónica, creando una capa de cargas superficiales y contraiones o doble capa . ^[4] Debido al movimiento térmico de los iones, la capa de contraiones es una capa difusa y está más extendida que una sola capa molecular, como propuso previamente Hermann Helmholtz en el modelo de Helmholtz. ^[3] El modelo de capa Stern va un paso más allá y tiene en cuenta el tamaño finito de los iones.

El modelo de Gouy-Chapman explica las cualidades de capacitancia de la doble capa eléctrica. ^[4] En la siguiente figura se puede ver un caso plano simple con una superficie cargada negativamente. Como era de esperar, la concentración de contraiones es mayor cerca de la superficie que en la solución a granel.

Un caso plano simple para el modelo de Gouy-Chapman

La ecuación de Poisson-Boltzmann describe el potencial electroquímico de los iones en la capa difusa. La distribución de potencial tridimensional se puede describir mediante la ecuación de Poisson ^[4]

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}},}$$

• ${\displaystyle \rho _{e}}$es la densidad de carga eléctrica local en C/m ³ ,
• ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$es la constante dieléctrica ( permisividad relativa ) del disolvente,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre,
• ψ es el potencial eléctrico .

La libertad de movimiento de los iones en solución puede explicarse mediante la estadística de Boltzmann . La ecuación de Boltzmann se utiliza para calcular la densidad de iones locales tal que

$${\displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}\cdot e^{\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}},}$$

• ${\displaystyle c_{i}^{0}}$es la concentración de iones a granel, ^[8]
• ${\displaystyle W_{i}}$es el trabajo requerido para acercar un ion a la superficie desde una distancia infinitamente lejana,
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$es la constante de Boltzmann ,
• ${\displaystyle T}$es la temperatura en kelvins .

La ecuación para la densidad de iones locales se puede sustituir en la ecuación de Poisson bajo el supuesto de que el trabajo que se realiza es sólo trabajo eléctrico, que nuestra solución está compuesta de una sal 1:1 (p. ej., NaCl) y que la concentración de la sal es mucho mayor que la concentración de iones. ^[4] El trabajo eléctrico para llevar un catión cargado o un anión cargado a una superficie con potencial ψ puede representarse por y respectivamente. ^[4] Estas ecuaciones de trabajo se pueden sustituir en la ecuación de Boltzmann, produciendo dos expresiones ${\displaystyle W^{+}=e\psi }$ ${\displaystyle W^{-}=-e\psi }$

$${\displaystyle c^{-}=c_{0}\cdot e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$$

e× ${\displaystyle c^{+}=c_{0}\cdot e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$⁻¹⁹

Sustituyendo estas relaciones de Boltzmann en la expresión de densidad de carga eléctrica local, se puede obtener la siguiente expresión

$${\displaystyle \rho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}e\cdot \left[e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}-e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right].}$$

Finalmente, la densidad de carga se puede sustituir en la ecuación de Poisson para producir la ecuación de Poisson-Boltzmann. ^[4]

Teorías relacionadas

La ecuación de Poisson-Boltzmann puede adoptar muchas formas en diversos campos científicos. En biofísica y ciertas aplicaciones de química de superficies, se la conoce simplemente como ecuación de Poisson-Boltzmann. ^[9] También se conoce en electroquímica como teoría de Gouy-Chapman; en química de soluciones como teoría de Debye-Huckel ; en química coloidal como teoría de Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek (DLVO) . ^[9] Sólo se necesitan modificaciones menores para aplicar la ecuación de Poisson-Boltzmann a varios modelos interfaciales, lo que la convierte en una herramienta muy útil para determinar el potencial electrostático en superficies. ^[4]

Resolviendo analíticamente

Debido a que la ecuación de Poisson-Boltzmann es un diferencial parcial de segundo orden, comúnmente se resuelve numéricamente ; sin embargo, con determinadas geometrías se puede resolver analíticamente.

Geometrias

La geometría que más fácilmente facilita esto es una superficie plana. En el caso de una superficie plana infinitamente extendida, hay dos dimensiones en las que el potencial no puede cambiar debido a la simetría. Suponiendo que estas dimensiones son las dimensiones y y z, solo queda la dimensión x. A continuación se muestra la ecuación de Poisson-Boltzmann resuelta analíticamente en términos de una derivada de segundo orden con respecto a x. ^[4]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {c_{0}e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot \left[e^{\frac {e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}-e^{\frac {-e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$

En un estudio particular también se han encontrado soluciones analíticas para casos axiales y esféricos. ^[10] La ecuación tiene la forma de un logaritmo de una serie de potencias y es la siguiente:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{\psi }-\delta e^{-\psi }}$$

Utiliza un potencial adimensional y las longitudes se miden en unidades del radio del electrón de Debye en la región de potencial cero (donde denota la densidad numérica de iones negativos en la región de potencial cero). Para el caso esférico, L=2, el caso axial, L=1, y el caso plano, L=0. ${\displaystyle \psi ={\frac {e\Phi }{kT}}}$ ${\displaystyle R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}}$ ${\displaystyle n_{e0}}$

Casos de bajo potencial versus casos de alto potencial

Al utilizar la ecuación de Poisson-Boltzmann, es importante determinar si el caso específico es de bajo o alto potencial . El caso de alto potencial se vuelve más complejo, por lo que, si corresponde, utilice la ecuación de bajo potencial. En la condición de bajo potencial, la versión linealizada de la ecuación de Poisson-Boltzmann (que se muestra a continuación) es válida y se usa comúnmente porque es más simple y abarca una amplia variedad de casos. ^[11] ${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{-\mathrm {K} x}}$

Condiciones de caso de bajo potencial

Estrictamente, bajo potencial significa que ; sin embargo, los resultados que arrojan las ecuaciones son válidos para una gama más amplia de potenciales, de 50 a 80 mV. ^[4] Sin embargo, a temperatura ambiente, y ese es generalmente el estándar. ^[4] Algunas condiciones de contorno que se aplican en casos de bajo potencial son las siguientes: en la superficie, el potencial debe ser igual al potencial de la superficie y, a grandes distancias de la superficie, el potencial se aproxima a un valor cero. Esta longitud de caída de distancia se obtiene mediante la ecuación de longitud de Debye . ^[4] ${\displaystyle e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle \psi \leq \mathrm {25mV} }$ ${\displaystyle \lambda _{D}}$

$${\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

$${\displaystyle \lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}}$$

A medida que aumenta la concentración de sal, la longitud de Debye disminuye debido a que los iones en solución filtran la carga superficial. ^[12] Un ejemplo especial de esta ecuación es el caso del agua con una sal monovalente. ^[4] La ecuación de longitud de Debye es entonces: ${\displaystyle 25^{\circ }C}$

$${\displaystyle \lambda _{D}={\frac {\mathrm {0.304nm} }{\sqrt {c_{0}\mathrm {\frac {L}{mol}} }}}}$$

Todas estas ecuaciones requieren casos de concentración de sal 1:1, pero si hay iones que tienen mayor valencia, se utiliza el siguiente caso. ^[4]

$${\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{Z_{i}}^{2}}}}$$

Caso de alto potencial

El caso de alto potencial se conoce como el “caso unidimensional completo”. Para obtener la ecuación se utiliza la solución general de la ecuación de Poisson-Boltzmann y se descarta el caso de potenciales bajos. La ecuación se resuelve con un parámetro adimensional , que no debe confundirse con el símbolo de coordenadas espaciales, y. ^[4] Empleando varias identidades trigonométricas y las condiciones de contorno de que a grandes distancias de la superficie, el potencial adimensional y su derivada son cero, se revela la ecuación de alto potencial. ^[4] ${\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}$

$${\displaystyle e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}}$$

Esta ecuación resuelta se muestra a continuación. ${\displaystyle e^{y/2}}$

$${\displaystyle e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

Para obtener una ecuación más útil que facilite la representación gráfica de distribuciones de alto potencial, tome el logaritmo natural de ambos lados y resuelva el potencial adimensional, y.

$${\displaystyle y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

Sabiendo eso , sustituye esto por y en la ecuación anterior y resuelve . Se representa la siguiente ecuación. ${\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}*\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)*e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

$${\displaystyle y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}}$$

Condiciones

En casos de bajo potencial, se puede utilizar la ecuación de alto potencial y aún así producirá resultados precisos. A medida que aumenta el potencial, el caso lineal de bajo potencial sobreestima el potencial en función de la distancia desde la superficie. Esta sobreestimación es visible a distancias inferiores a la mitad de la longitud de Debye , donde la caída es más pronunciada que la caída exponencial. La siguiente figura emplea la ecuación linealizada y la ecuación gráfica de alto potencial derivada anteriormente. Es un gráfico de potencial versus distancia para potenciales de superficie variables de 50, 100, 150 y 200 mV. Las ecuaciones empleadas en esta figura suponen una solución de NaCl de 80 mM.

Potencial frente a distancia para potenciales de superficie variables de 50, 100, 150 y 200 mV. Las ecuaciones empleadas en esta figura suponen una solución de NaCl de 80 mM.

Aplicaciones generales

La ecuación de Poisson-Boltzmann se puede aplicar en una variedad de campos principalmente como herramienta de modelado para hacer aproximaciones para aplicaciones tales como interacciones biomoleculares cargadas, dinámica de electrones en semiconductores o plasma, etc. La mayoría de las aplicaciones de esta ecuación se utilizan como modelos para ganar Más conocimientos sobre electrostática .

Aplicaciones fisiológicas

La ecuación de Poisson-Boltzmann se puede aplicar a sistemas biomoleculares. Un ejemplo es la unión de electrolitos a biomoléculas en una solución. Este proceso depende del campo electrostático generado por la molécula, del potencial electrostático en la superficie de la molécula, así como de la energía libre electrostática. ^[13]

La ecuación linealizada de Poisson-Boltzmann se puede utilizar para calcular el potencial electrostático y la energía libre de moléculas altamente cargadas, como el ARNt, en una solución iónica con diferente número de iones unidos con diferentes fuerzas iónicas fisiológicas. Se demuestra que el potencial electrostático depende de la carga de la molécula, mientras que la energía libre electrostática tiene en cuenta la carga neta del sistema. ^[14]

Otro ejemplo de utilización de la ecuación de Poisson-Boltzmann es la determinación de un perfil de potencial eléctrico en puntos perpendiculares a la bicapa de fosfolípidos de un eritrocito . Esto tiene en cuenta tanto la capa de glicocálix como la de espectrina de la membrana de los eritrocitos. Esta información es útil por muchas razones, incluido el estudio de la estabilidad mecánica de la membrana de los eritrocitos. ^[15]

Energía libre electrostática

La ecuación de Poisson-Boltzmann también se puede utilizar para calcular la energía libre electrostática para cargar hipotéticamente una esfera utilizando la siguiente integral de carga:

$${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '}$$

${\displaystyle \tau q}$

La energía libre electrostática también se puede expresar tomando el proceso del sistema de carga. La siguiente expresión utiliza el potencial químico de las moléculas de soluto e implementa la ecuación de Poisson-Boltzmann con el funcional de Euler-Lagrange :

$${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2}}{8\pi }}\right)dV}$$

Tenga en cuenta que la energía libre es independiente de la vía de carga [5c].

La expresión anterior se puede reescribir en términos de energía libre separados según las diferentes contribuciones a la energía libre total.

$${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\Delta G^{\text{ef}}+\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}$$

• Cargas fijas electrostáticas = ${\displaystyle \Delta G^{\text{ef}}=\int _{V}{\frac {p^{f}U}{2}}dV}$
• Cargas móviles electrostáticas = ${\displaystyle \Delta G^{\text{em}}=\int _{V}{\frac {\sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV}$
• Energía entrópica libre de mezcla de especies móviles = ${\displaystyle \Delta G^{\text{mob}}=kT\int _{V}c_{i}\ln {\frac {c_{i}}{c_{i}^{\infty }}}dV}$
• Energía libre entrópica de mezcla de solvente = ${\displaystyle \Delta G^{\text{solv}}=kT\int _{V}\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]dV}$

Finalmente, combinando los últimos tres términos, se obtiene la siguiente ecuación que representa la contribución del espacio exterior a la integral de densidad de energía libre

$${\displaystyle \Delta G^{\text{out}}=\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}$$

Estas ecuaciones pueden actuar como modelos geométricos simples para sistemas biológicos como proteínas , ácidos nucleicos y membranas. ^[13] Esto implica que las ecuaciones se resuelvan con condiciones de contorno simples, como un potencial de superficie constante. Estas aproximaciones son útiles en campos como la química de coloides . ^[13]

Ciencia de los Materiales

Se puede utilizar una solución analítica de la ecuación de Poisson-Boltzmann para describir una interacción electrón-electrón en un semiconductor metal-aislante (MIS). ^[16] Esto se puede utilizar para describir la dependencia tanto del tiempo como de la posición de sistemas disipativos como un sistema mesoscópico. Esto se hace resolviendo analíticamente la ecuación de Poisson-Boltzmann en el caso tridimensional. Resolver esto da como resultado expresiones de la función de distribución para la ecuación de Boltzmann y un potencial promedio autoconsistente para la ecuación de Poisson . Estas expresiones son útiles para analizar el transporte cuántico en un sistema mesoscópico. En las uniones túneles de semiconductores con aislantes metálicos, los electrones pueden acumularse cerca de la interfaz entre capas y, como resultado, el transporte cuántico del sistema se verá afectado por las interacciones electrón-electrón. ^[16] Ciertas propiedades de transporte, como la corriente eléctrica y la densidad electrónica, se pueden conocer resolviendo el potencial promedio de Coulombic autoconsistente a partir de las interacciones electrón-electrón, que está relacionado con la distribución electrónica. Por lo tanto, es esencial resolver analíticamente la ecuación de Poisson-Boltzmann para obtener las cantidades analíticas en las uniones de los túneles MIS. ^[16] Aplicando la siguiente solución analítica de la ecuación de Poisson-Boltzmann (ver sección 2) a las uniones de túneles MIS, se puede formar la siguiente expresión para expresar cantidades de transporte electrónico como la densidad electrónica y la corriente eléctrica.

$${\displaystyle f_{1}f^{0}-f_{0}+{\frac {eE_{z}\tau _{0}}{m}}{\frac {\partial f_{0}}{\partial v_{z}}}\left(1-e^{\frac {-\tau }{\tau _{0}}}\right)-\int _{0}^{t}{\frac {e}{m}}e{^{\frac {t-\tau '}{\tau _{0}}}}\nabla \rho [r-v(t-t')]\times {\frac {\partial f_{0}}{\partial v}}dt'}$$

Al aplicar la ecuación anterior a la unión del túnel MIS, el transporte electrónico se puede analizar a lo largo del eje z, que está referenciado perpendicular al plano de las capas. En este caso se elige una unión de tipo n con una polarización V aplicada a lo largo del eje z. El potencial promedio autoconsistente del sistema se puede encontrar usando

$${\displaystyle \rho \rho _{1}+\rho _{2}}$$

• ${\displaystyle \rho _{1}\approx {\frac {aE_{z}}{2\lambda _{D1}}}e^{-\lambda _{D1}z}}$y
• ${\displaystyle \rho _{2}\approx {\frac {ne{\sqrt {\pi }}G(i\lambda _{D1})e^{{\frac {-t}{\tau _{0}}}-\lambda _{D1}z}}{3{\sqrt {3}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\lambda _{D1}}}\left(1-e^{1-{\sqrt {\frac {2ne^{2}t^{2}}{m\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}}\right)}$

λ se llama longitud de Debye .

La densidad electrónica y la corriente eléctrica se pueden encontrar manipulando la ecuación 16 anterior como funciones de la posición z. Estas cantidades de transporte electrónico se pueden utilizar para ayudar a comprender diversas propiedades de transporte en el sistema.

Limitaciones [4]

Como ocurre con cualquier modelo aproximado, la ecuación de Poisson-Boltzmann es una aproximación más que una representación exacta. Se hicieron varias suposiciones para aproximar el potencial de la capa difusa. El tamaño finito de los iones se consideró insignificante y los iones se trataron como cargas puntuales individuales, donde se suponía que los iones interactuaban con el campo electrostático promedio de todos sus vecinos en lugar de con cada vecino individualmente. Además, no se consideraron las interacciones no coulómbicas y no se tuvieron en cuenta ciertas interacciones, como la superposición de esferas de hidratación iónica en un sistema acuoso. Se supuso que la permitividad del disolvente era constante, lo que resultó en una aproximación aproximada, ya que se impide que las moléculas polares se muevan libremente cuando encuentran el fuerte campo eléctrico en la superficie sólida.

Aunque el modelo enfrenta ciertas limitaciones, describe muy bien las capas dobles eléctricas. Los errores resultantes de los supuestos mencionados anteriormente se anulan entre sí en su mayor parte. Tener en cuenta las interacciones no coulómbicas aumenta la concentración de iones en la superficie y conduce a un potencial superficial reducido. Por otro lado, incluir el tamaño finito de los iones provoca el efecto contrario. La ecuación de Poisson-Boltzmann es más apropiada para aproximar el potencial electrostático en la superficie de soluciones acuosas de sales univalentes en concentraciones inferiores a 0,2 M y potenciales que no superan los 50 a 80 mV.

En el límite de las interacciones electrostáticas fuertes, una teoría del acoplamiento fuerte es más aplicable que el acoplamiento débil supuesto al derivar la teoría de Poisson-Boltzmann. ^[17]

Ver también

• Doble capa

Referencias

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2. Attard, Phil (7 de agosto de 2002). Termodinámica y mecánica estadística: equilibrio por maximización de entropía. Prensa académica. pag. 318.ISBN​ 978-0-12-066321-7.
3. Fogolari, F.; Brigo, A.; Molinari, H. (2002). "La ecuación de Poisson-Boltzmann para electrostática biomolecular: una herramienta para la biología estructural". J. Mol. Reconocer . 15 (6): 379–385. doi :10.1002/jmr.577. PMID  12501158. S2CID  17184352.
4. Butt, H.; Graf, L.; Kappl, M. (2006). Física y Química de Interfaces (2ª ed.). Weinheim, Alemania: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40629-6.
5. Universidad Estatal de Nuevo México. «Doble Capa Eléctrica» . Consultado el 1 de junio de 2014 .
6. Universidad Simon Fraser. "Química 465 Conferencia 10" (PDF) . Consultado el 1 de junio de 2014 .
7. Departamento de Ingeniería Química, Universidad Carnegie Mellon. "La aplicación de un modelo dinámico de capa de popa a mediciones de movilidad electroforética de partículas de látex" (PDF) . Consultado el 1 de junio de 2014 .
8. "Doble capa eléctrica". web.nmsu.edu . Consultado el 1 de junio de 2018 .
9. Lu, BZ; et al. (2008). "Progresos recientes en métodos numéricos para la ecuación de Poisson-Boltzmann en aplicaciones biofísicas". Comunitario. Computadora. Física. 3 (5): 973–1009 [págs. 974–980].
10. D'Yachkov, LG (2005). "Solución analítica de la ecuación de Poisson-Boltzmann en casos de simetría esférica y axial". Cartas Técnicas de Física . 31 (3): 204–207. Código Bib : 2005TePhL..31..204D. doi :10.1134/1.1894433. S2CID  120529487.
11. Tuinier, R. (2003). "Soluciones aproximadas de la ecuación de Poisson-Boltzmann en geometría esférica y cilíndrica". Revista de ciencia de interfaces y coloides . 258 (1): 45–49. Código Bib : 2003JCIS..258...45T. doi :10.1016/S0021-9797(02)00142-X.
12. Sperelakis, N. (2012). Libro de consulta de fisiología celular: un enfoque molecular (3ª ed.). San Diego: Acad. ISBN 978-0-12-387738-3.
13. Fogolari, Federico; Zuccato, Pierfrancesco; Espósito, Gennaro; Viglino, Paola (1999). "Electrostática biomolecular con la ecuación linealizada de Poisson-Boltzmann". Revista Biofísica . 76 (1): 1–16. Código Bib : 1999BpJ....76....1F. doi :10.1016/S0006-3495(99)77173-0. PMC 1302495 . PMID  9876118. 
14. Gruziel, Magdalena; Grochowski, Pawel; Trylska, Joanna (2008). "El modelo de Poisson-Boltzmann para ARNt". J. Computación. Química. 29 (12): 1970–1981. doi :10.1002/jcc.20953. PMC 2599918 . PMID  18432617.  
15. Cruz, Federico AO; Vilhena, Fernando SDS; Cortez, Celia M. (2000). "Soluciones de la ecuación no lineal de Poisson-Boltzmann para la membrana de los eritrocitos". Revista Brasileña de Física . 30 (2): 403–409. Código Bib : 2000BrJPh..30..403C. doi : 10.1590/S0103-97332000000200023 .
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17. Moreira, AG; Netz, RR (2000). "Teoría del acoplamiento fuerte para distribuciones de contraiones". Cartas de Eurofísica . 52 (6): 705–711. arXiv : cond-mat/0009376 . Código Bib : 2000EL.....52..705M. doi :10.1209/epl/i2000-00495-1. S2CID  18058376.

enlaces externos

• Adaptive Poisson-Boltzmann Solver: un paquete de software gratuito y de código abierto para electrostática y solvatación biomolecular de Poisson-Boltzmann
• Zap: un solucionador de electrostática de Poisson-Boltzmann
• Interfaz combinada MIBPB y solucionador Poisson-Boltzmann basado en límites
• CHARMM-GUI: solucionador PBEQ
• AFMPB Adaptive Fast Multipole Poisson-Boltzmann Solver, gratuito y de código abierto
• Soluciones clásicas globales de la ecuación de Boltzmann con interacciones de largo alcance, Philip T. Gressman y Robert M. Strain, 2009, Universidad de Pennsylvania, Departamento de Matemáticas, Filadelfia, PA, EE. UU.