Ecuación de Liouville-Bratu-Gelfand

Para conocer la ecuación de Liouville en geometría diferencial, consulte la ecuación de Liouville .

En matemáticas , la ecuación de Liouville-Bratu-Gelfand o ecuación de Liouville es una ecuación de Poisson no lineal , llamada así en honor a los matemáticos Joseph Liouville , ^[1] Gheorghe Bratu ^[2] e Israel Gelfand . ^[3] La ecuación dice

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda e^{\psi }=0}$

La ecuación aparece en la fuga térmica como teoría de Frank-Kamenetskii , astrofísica por ejemplo, ecuación de Emden-Chandrasekhar . Esta ecuación también describe la carga espacial de electricidad alrededor de un cable incandescente ^[4] y describe una nebulosa planetaria .

La solución de Liouville.[5]

En dos dimensiones con coordenadas cartesianas , Joseph Liouville propuso una solución en 1853 como ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \lambda e^{\psi }(u^{2}+v^{2}+1)^{2}=2\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}\right]}$

donde es una función analítica arbitraria con . En 1915, GW Walker ^[6] encontró una solución asumiendo una forma para . Si , entonces la solución de Walker es ${\displaystyle f(z)=u+iv}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$

${\displaystyle 8e^{-\psi }=\lambda \left[\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}\right]^{2}}$

donde es un radio finito. Esta solución decae en el infinito para cualquiera , pero se vuelve infinita en el origen de , se vuelve finita en el origen de y se vuelve cero en el origen de . Walker también propuso dos soluciones más en su artículo de 1915. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n<1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$

Formas radialmente simétricas

Si el sistema a estudiar es radialmente simétrico, entonces la ecuación en dimensión se vuelve ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \psi ''+{\frac {n-1}{r}}\psi '+\lambda e^{\psi }=0}$

¿Dónde está la distancia desde el origen? Con las condiciones de contorno ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \psi '(0)=0,\quad \psi (1)=0}$

y para , existe una solución real solo para , donde está el parámetro crítico llamado parámetro de Frank-Kamenetskii . El parámetro crítico es for , for y for . Para , existen dos soluciones y para infinitas soluciones existen con soluciones que oscilan alrededor del punto . Para , la solución es única y en estos casos el parámetro crítico viene dado por . La solución para la multiplicidad fue descubierta por Israel Gelfand en 1963 y posteriormente en 1973 generalizada para todos por Daniel D. Joseph y Thomas S. Lundgren . ^[7] ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,\lambda _{c}]}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=0.8785}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=3.32}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=1,\ 2}$ ${\displaystyle 3\leq n\leq 9}$ ${\displaystyle \lambda =2(n-2)}$ ${\displaystyle n\geq 10}$ ${\displaystyle \lambda _{c}=2(n-2)}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n}$

La solución para eso es válida en el rango está dada por ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,0.8785]}$

${\displaystyle \psi =-2\ln \left[e^{-\psi _{m}/2}\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}r\right)\right]}$

donde está relacionado con como ${\displaystyle \psi _{m}=\psi (0)}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle e^{\psi _{m}/2}=\cosh \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {2}}}e^{-\psi _{m}/2}\right).}$

La solución para eso es válida en el rango está dada por ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,2]}$

${\displaystyle \psi =\ln \left[{\frac {64e^{\psi _{m}}}{(\lambda e^{\psi _{m}}r^{2}+8)^{2}}}\right]}$

donde está relacionado con como ${\displaystyle \psi _{m}=\psi (0)}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (\lambda e^{\psi _{m}}+8)^{2}-64e^{\psi _{m}}=0.}$

Referencias

1. Liouville, J. "Sur l'équation aux différences partielles ". Journal de mathématiques pures et appliquées (1853): 71–72. http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1853_1_18_A3_0.pdf ${\displaystyle {\frac {d^{2}\log \lambda }{dudv}}\pm {\frac {\lambda }{2a^{2}}}=0}$
2. Bratu, G. "Sur les équations integrales non linéaires". Bulletin de la Société Mathématique de France 42 (1914): 113–142.http://archive.numdam.org/article/BSMF_1914__42__113_0.pdf
3. Gelfand, IM "Algunos problemas de la teoría de ecuaciones cuasilineales". América. Matemáticas. Soc. Traducción 29.2 (1963): 295–381. http://www.mathnet.ru/links/aa75c5d339030f17940afb64e17793d8/rm7290.pdf
4. Richardson, Owen Willans. La emisión de electricidad de los cuerpos calientes. Longmans, Green y compañía, 1921.
5. Bateman, Harry. "Ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática". Ecuaciones diferenciales parciales de física matemática, por H. Bateman, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, 1932 (1932).
6. Walker, George W. "Algunos problemas que ilustran las formas de las nebulosas". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter físico y matemático 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
7. José, DD y TS Lundgren. "Problemas cuasilineales de Dirichlet impulsados ​​por fuentes positivas". Archivo de análisis y mecánica racional 49.4 (1973): 241-269.